e.f

trouver tt les fonctions f:IR--->IR tel que:



bonne chance!

no one!!!!

reponse : pr tt x de R f(x)=-1

preuve :

posons c=f(0)

pour y=0 : f(x-c)=f(x)+f(c)+1 (*)

et pr x=c : c=2f(c)+1 donc f(c)=(c-1)/2

remplacons dans (*) on aura : f(x-c)=f(x)+(c+1)/2 (1)

remplacons dans l equation x par x+f(y) on a :

f(x)=f(x+f(y)+y^2008)+f(f(y)+y^2008)+1 (2)

pr x=0 il vient c=2f(f(y)+y^2008)+1

donc f(f(y)+y^2008))=(c-1)/2

remplacons dans (2) on a :

f(x)=f(x+f(y)+y^2008)+(c+1)/2 (3)

maintenant dans (1) remplacons x par x+f(y)+y^2008 on aura :

f(x+f(y)+y^2008-c)=f(x+f(y)+y^2008)+(c+1)/2

et d apres (3) on aura :

f(x)=f(x+f(y)+y^2008-c)

donc f(y)+y^2008-c=T est une periode et puisque f(y)#c-y^2008 donc T#0
et puisque f(y)+y^2008-c decri R* ce qui veut dire que T est un reels non nul quelconque donc f est constante donc f(x)=a avec a€R

reciproquement remplacons dans l equation on a :

a=2a+1 donc a=-1

donc pr tt x de R f(x)=-1 est l unique sollution

salam

une explication:

memath ecrit à la fin:

f(y) + y^2008 - c = T est une période .............. T# 0...............

f(y) + y^2008 -c décrit IR*.......................

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à ma connaissance , une période est une constante

ensuite pourquoi : f(y) # c-y^2008 ????,

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si f(x)=f(x+T) donc T est une periode et mT est une periode pr tt m de Z et nous justement on a pour but de montrer qu elle n est pas constante pr pouvoir deduire que f est constante.

pour f(y)#c-y^2008 bah il suffit de remplacer dans l equation f(x) par c-x^2008 pour voir qu elle n est pas sollution

j espere avoir repondu à vos question mr Houssa

c'est bien memath