Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  FAQFAQ  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  

Partagez
 

 .....

Aller en bas 
AuteurMessage
EINSTEINIUM
Maître
EINSTEINIUM

Masculin Nombre de messages : 245
Age : 26
Localisation : Oujda
Date d'inscription : 29/01/2009

..... Empty
MessageSujet: .....   ..... EmptyJeu 29 Jan 2009, 19:10

SOIT X1,X2......Xn(n>=3)DES REELS STRICTEMENT POSITIFS TEL QUE:
X1+X2+X3.........Xn=1
DEMONTRER QUE: (X1^2)X2 + (X^2)X3.........+(Xn^2)X1 <=4/27
Revenir en haut Aller en bas
memath
Expert sup
memath

Masculin Nombre de messages : 1645
Age : 27
Localisation : oujda
Date d'inscription : 17/02/2007

..... Empty
MessageSujet: Re: .....   ..... EmptyVen 30 Jan 2009, 00:25

en raisonant par recurence , le passage de n vers n+1 est trivial donc il reste à prouver le cas ou n=3.

Probleme:

..... 092a0d35703781f16eff704a5d1ca247

Solution

sans perdre de generalité on suppose que a>=b>=c

on a donc :

..... F24d5b53a6d099c78cc5cfd090798904

par Bernoulli on a :

..... 7016b7f1c97256be2308caee187ebb2e

donc :

..... Bf55f49067fd06f176ffe640d3f10ed1

par AM-GM on a :

..... 0fe6b2299a54599c2d2441adcddb31ab

donc :

..... A530a3db673f86bb05a7d5975cc1ae4e

ce qui fini la preuve Smile
Revenir en haut Aller en bas
http://oujda-job.vu.ma
EINSTEINIUM
Maître
EINSTEINIUM

Masculin Nombre de messages : 245
Age : 26
Localisation : Oujda
Date d'inscription : 29/01/2009

..... Empty
MessageSujet: Re: .....   ..... EmptyVen 30 Jan 2009, 11:08

TU AS RAISSONNé.....
Revenir en haut Aller en bas
mathsmaster
Expert sup
mathsmaster

Masculin Nombre de messages : 1500
Age : 26
Localisation : chez moi.
Date d'inscription : 06/02/2008

..... Empty
MessageSujet: Re: .....   ..... EmptyVen 30 Jan 2009, 18:27

salut Memath, pourquoi supposer que a>=b>=c, ce n'est pas juste.
Revenir en haut Aller en bas
http://mathsmaster.wordpress.com
memath
Expert sup
memath

Masculin Nombre de messages : 1645
Age : 27
Localisation : oujda
Date d'inscription : 17/02/2007

..... Empty
MessageSujet: Re: .....   ..... EmptyVen 30 Jan 2009, 18:41

pourquoi ce n est pas juste professeur ???!!!
on peut les classer les variables sans perdre de generalité Wink


Dernière édition par memath le Ven 30 Jan 2009, 20:55, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
http://oujda-job.vu.ma
mathsmaster
Expert sup
mathsmaster

Masculin Nombre de messages : 1500
Age : 26
Localisation : chez moi.
Date d'inscription : 06/02/2008

..... Empty
MessageSujet: Re: .....   ..... EmptyVen 30 Jan 2009, 18:47

l'inégalité n'est pas symetrique,
Revenir en haut Aller en bas
http://mathsmaster.wordpress.com
neutrino
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2684
Age : 27
Date d'inscription : 09/12/2006

..... Empty
MessageSujet: Re: .....   ..... EmptyVen 30 Jan 2009, 19:56

le passage de n à n+1 est facile , mais pas triviale , je vais vs donner les pistes
on pose :
..... C97b91d2590f3508dfdb38d41d97a384 -- avec : x_(n+1)=x_1 --

essayer de montrer ( en supposont que x_(n+1)=min(x_1,.....,x_(n+1))) que : ..... 3ce04290b5f7cfc538d546bcc6e4414e -- avec : x_(n+2)=x_1--

alors en posons t=x_n+x_(n+1) , il vient que :
..... 1dc87b44547ff1f9d297fcff99913229
en utilisant l'hypothèse de la récuurence on arrivera au résultat

Maintenant , passons au cas n=3:
Certes , l'inégalité n'est pas symétrique , mais on peut supposer que a>=b>=c , voici pourquoi :
S.P.G : soit a=max(a,b,c)
l'inég équivaut à :
..... Ac1136839f5fb9b4150716623cbf0f60
ou encore:
..... 6350ea99f38d442a4b34cde4a03ae705

mais : ..... 2a159b4c3551a21b5f22fc8902c53233

alors l'inég devient :
..... 9e4292f6aa422920146f1c5d9e7c2362

si a>=c>=b
alors :
..... Fee110a52a344654f71494a5c8d42d5c ( car a=max(a,b,c) >= 1/3 )
il suffit de démontrer que :
..... B85b3740594013370f83f7f4048bf5d4 ( ce qui est trivial , car le discriminant est negatif)

Mnt on peut supposer que a>=b>=c
par Am-gm : ..... F31fe9a17340f3671a3456023ff8a8b2

et : ..... Cd74777325ea104a10600b802ec5efc8

alors il suffit de montrer que : a(1-a) + a^3/4 <= 8/27
<=> (8-3a)(3a-2)^2>=0 , clairement vrai, égalité avec : ( 2/3,1/3,0,0.....0) ou toute permutation cyclique ( sauf erreur)
A+
Revenir en haut Aller en bas
memath
Expert sup
memath

Masculin Nombre de messages : 1645
Age : 27
Localisation : oujda
Date d'inscription : 17/02/2007

..... Empty
MessageSujet: Re: .....   ..... EmptyVen 30 Jan 2009, 20:40

merci neutrino pour tes clarifications . Wink
pr Mathmaster ; biensur que l inegalité n est pas symetrique mais comme l a expliqué neutrino on peut toujours ordonner les elements du fait que l ordre n est pas important dans cette situation puisque les differents cas menent à un seul resultat.
Revenir en haut Aller en bas
http://oujda-job.vu.ma
neutrino
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2684
Age : 27
Date d'inscription : 09/12/2006

..... Empty
MessageSujet: Re: .....   ..... EmptyVen 30 Jan 2009, 20:45

sinn , tjrs pour n=3 , jé trouvé une preuve plus jolie :
supposons que : a=max(a,b,c)
pr ts x,y de R+ , 4(x+y)^3/27 >= x^2y (la preuve avec Am-GM)

mnt : 4/27 *(a+b+c)^3 = 4/27 *( a+c/2 + b+c/2 )^3 >= (a+c/2)^2(b+c/2)
il suffit de Montrer que : (a+c/2)^2(b+c/2) >= a^2b+b^2c+c^2a
sans difficulté , on voit qu'elle équivaut à :
c( 4a(a-c) +8a(a-b) +c(c+2b) ) >=0 , clairement vrai d'après l'hypothèse Wink
Revenir en haut Aller en bas
neutrino
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2684
Age : 27
Date d'inscription : 09/12/2006

..... Empty
MessageSujet: Re: .....   ..... EmptyVen 30 Jan 2009, 20:56

neutrino a écrit:
sinn , tjrs pour n=3 , jé trouvé une preuve plus jolie :
supposons que : a=max(a,b,c)
pr ts x,y de R+ , 4(x+y)^3/27 >= x^2y (la preuve avec Am-GM)

mnt : 4/27 *(a+b+c)^3 = 4/27 *( a+c/2 + b+c/2 )^3 >= (a+c/2)^2(b+c/2)
il suffit de Montrer que : (a+c/2)^2(b+c/2) >= a^2b+b^2c+c^2a
sans difficulté , on voit qu'elle équivaut à :
c( 4a(a-c) +8a(a-b) +c(c+2b) ) >=0 , clairement vrai d'après l'hypothèse Wink

est ce que l'idée est généralisable , ( je crois que oui mais sa demande du calcul) , quelqu'un essaie..
btw : @memath : l'idée d'introduire Bernoullli est originale Smile Wink
Revenir en haut Aller en bas
memath
Expert sup
memath

Masculin Nombre de messages : 1645
Age : 27
Localisation : oujda
Date d'inscription : 17/02/2007

..... Empty
MessageSujet: Re: .....   ..... EmptyVen 30 Jan 2009, 21:01

merci mais pas comparable à ta derniere innovation de delta Wink
Revenir en haut Aller en bas
http://oujda-job.vu.ma
memath
Expert sup
memath

Masculin Nombre de messages : 1645
Age : 27
Localisation : oujda
Date d'inscription : 17/02/2007

..... Empty
MessageSujet: Re: .....   ..... EmptyVen 30 Jan 2009, 22:05

je vous propose de demontrer la genralisation generalisée de cette inegalité Cool :

soit : ..... D29be4f9843baafc1a83cbd5f2de7c8b
avec : ..... 8334db09db8629c272909eae1c9489e3

montrez que pour tt k tel que : ..... 0ede881496c836f5598d31f337488b58

..... Eb3956ba1203ab49d4996f0e6ebc664f

Smile j espere qu elle vous plaira !!
Revenir en haut Aller en bas
http://oujda-job.vu.ma
Contenu sponsorisé




..... Empty
MessageSujet: Re: .....   ..... Empty

Revenir en haut Aller en bas
 
.....
Revenir en haut 
Page 1 sur 1

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Olympiades :: Inégalités-
Sauter vers: