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 elle parait facile..

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neutrino
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MessageSujet: elle parait facile..   elle parait facile.. EmptyDim 01 Fév 2009, 19:34

a,b,c>=0 , trouvez le max de :

elle parait facile.. 5fbaecb5cc572a339c4219476d8d0a85
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houssa
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MessageSujet: Re: elle parait facile..   elle parait facile.. EmptyDim 01 Fév 2009, 20:48

salam

max = 4/9
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badr
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badr

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MessageSujet: Re: elle parait facile..   elle parait facile.. EmptyDim 01 Fév 2009, 20:53

salut
on suppose que 0<=a<=b<=c

on a (a+b)^3>=4ab(a+b)===>a²b/(a+b)^3<=a/4(a+b)<=1/8.rac(a/b)

de meme a²b/(a+b)^3+b²c/(b+c)^3+c²a/(a+c)^3<=1/8(rac(a/b)+rac(b/c)+rac(c/a)<=3/8 donc le max est 3/8
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neutrino
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MessageSujet: Re: elle parait facile..   elle parait facile.. EmptyDim 01 Fév 2009, 20:56

houssa a écrit:
salam

max = 4/9

wa alaikum salam
non c'est pas ca le max , deja l'inégalité a²b/(a+b)^3 < 4/9 est largement stricte
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neutrino
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MessageSujet: Re: elle parait facile..   elle parait facile.. EmptyDim 01 Fév 2009, 21:02

badr a écrit:
salut
on suppose que 0<=a<=b<=c

on a (a+b)^3>=4ab(a+b)===>a²b/(a+b)^3<=a/4(a+b)<=1/8.rac(a/b)

de meme a²b/(a+b)^3+b²c/(b+c)^3+c²a/(a+c)^3<=1/8(rac(a/b)+rac(b/c)+rac(c/a)<=3/8 donc le max est 3/8

salut Badr Wink

d'abord tu nas pas le droit de supposer directement que a>=b>=c , ensuite rac(a/b)+rac(b/c)+rac(c/a) <=3 est clairement fausse , mais le max est 3/8 Wink
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houssa
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MessageSujet: Re: elle parait facile..   elle parait facile.. EmptyDim 01 Fév 2009, 21:02

salam

je suis désolé pour badr

majorant n'est pas forçément max.
------------

soit f(a) = a^2.b / (a+b)^3

f'(a) = ab.(2b-a) / (a+b)^4

tableau de variat =====> f atteint son max sur [0,+inf[en a= 2b

le calcul ====> max(f) = 4/27

les trois termes sont indépendants

le max cherché = 3.4/27 = 4/9

--------------------------------
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badr
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badr

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MessageSujet: Re: elle parait facile..   elle parait facile.. EmptyDim 01 Fév 2009, 21:07

neutrino a écrit:
badr a écrit:
salut
on suppose que 0<=a<=b<=c

on a (a+b)^3>=4ab(a+b)===>a²b/(a+b)^3<=a/4(a+b)<=1/8.rac(a/b)

de meme a²b/(a+b)^3+b²c/(b+c)^3+c²a/(a+c)^3<=1/8(rac(a/b)+rac(b/c)+rac(c/a)<=3/8 donc le max est 3/8

salut Badr Wink

d'abord tu nas pas le droit de supposer directement que a>=b>=c , ensuite rac(a/b)+rac(b/c)+rac(c/a) <=3 est clairement fausse , mais le max est 3/8 Wink
salut neutrino
on voit puisque a et b et c jouent un role symetrique je pense que ca est suffisante de dire que a<=b=<c Smile Smile n'est ce pas
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neutrino
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MessageSujet: Re: elle parait facile..   elle parait facile.. EmptyDim 01 Fév 2009, 21:12

houssa a écrit:
salam

je suis désolé pour badr

majorant n'est pas forçément max.
------------

soit f(a) = a^2.b / (a+b)^3

f'(a) = ab.(2b-a) / (a+b)^4

tableau de variat =====> f atteint son max sur [0,+inf[en a= 2b

le calcul ====> max(f) = 4/27

les trois termes sont indépendants

le max cherché = 3.4/27 = 4/9

--------------------------------

donc disez moi quand est ce que ce max est atteint ??, deja jé prouvé que l'expression <= 3/8 et 3/8 < 4/9 est atteinte pr a=b=c lol
@badr :
d'abord l'inég n'est pas symetrique ,en+ rac(a/b) + rac(b/c) + rac(c/a) <=3 est clairement fausse , juste essaie avec am*gm Smile
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badr
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MessageSujet: Re: elle parait facile..   elle parait facile.. EmptyDim 01 Fév 2009, 21:13

houssa a écrit:
salam

je suis désolé pour badr

majorant n'est pas forçément max.
------------

soit f(a) = a^2.b / (a+b)^3

f'(a) = ab.(2b-a) / (a+b)^4

tableau de variat =====> f atteint son max sur [0,+inf[en a= 2b

le calcul ====> max(f) = 4/27

les trois termes sont indépendants

le max cherché = 3.4/27 = 4/9

--------------------------------

oui mr houssa tout a fait courect pour les majorants il u en a plus que ca mais un max c'est unique et pour neutrino il doit poser la question de prouver le plus petit des majorant est pas le max de l'inegalite
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neutrino
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MessageSujet: Re: elle parait facile..   elle parait facile.. EmptyDim 01 Fév 2009, 21:17

LOL , je crois que mon message n'était pas bien transmis , je réformule ma question
Prouver que : l'expression <= 3/8
salam
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badr
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MessageSujet: Re: elle parait facile..   elle parait facile.. EmptyDim 01 Fév 2009, 22:53

j'essaie une autre fois

on a (a+b)^3>=4ab(a+b)===>a²b/(a+b)^3<=a/4(a+b)<=1/8.rac(a/b)

de meme a²b/(a+b)^3+b²c/(b+c)^3+c²a/(a+c)^3<=1/8(rac(a/b)+rac(b/c)+rac(c/a)<=V3/8(rac(a/b+b/c+c/a) selon C-S

DONC a²b/(a+b)^3+b²c/(b+c)^3+c²a/(a+c)^3<=1/8(rac(a/b)+rac(b/c)+rac(c/a)<=V3/8(rac(a/b+b/c+c/a) =<rac(3)/8*rac(1+1+1)selon le rendement donc
a²b/(a+b)^3+b²c/(b+c)^3+c²a/(a+c)^3=<3/8
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xyzakaria
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MessageSujet: Re: elle parait facile..   elle parait facile.. EmptyLun 02 Fév 2009, 13:23

slt une petite question comment savoir si une inegalite est cyclique ou symetrique.
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neutrino
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MessageSujet: Re: elle parait facile..   elle parait facile.. EmptyMar 03 Fév 2009, 20:05

xyzakaria a écrit:
slt une petite question comment savoir si une inegalite est cyclique ou symetrique.

chaque inegalité equivaut à F(a,b,c)>=0 , si F(a,b,c) reste stable par permutations symetriques des variables a,b,c , alors l'inégalité est symetrique
si F(a,b,c) reste invariante seulement par permutations cycliques , on dit que l'inégalité est cyclique
A+
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