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 exo sur les nombres complexes

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titans
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MessageSujet: exo sur les nombres complexes   exo sur les nombres complexes EmptyMer 04 Fév 2009, 22:07

soit le polynôme: p(Z)= AnZ^n+An-1Z^n-1+....+A1Z+A0
K£{0,1,...,n. Ak£IR}
1-demontrez que : si le degret du polynôme est impaire le polynôme aura au moin une racine réelle
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memath
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MessageSujet: Re: exo sur les nombres complexes   exo sur les nombres complexes EmptyMer 04 Fév 2009, 22:59

P(z)=z^n+(an-1/an)Z^{n-1)+....+a0/an
P(z) admet n racines complexes , z1,z2....zn

donc z1*z2*....*zn=a0/an
posons z_k=(a_k+i*b_k) ac a_k et b_k des reels

a0/an=(a1+ib1)...(an+ibn)

lors du developement de l expression interessons nous au prduit des b_k on a n nombre b_k avec n i donc c i^{n}(b1*b2...bn)
puisque n est impair i^{n}=+-i €C

on veut que a0/an soit reel donc un b_k=0 donc un Z_k=a_k€ R

(sauf erreur)
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: exo sur les nombres complexes   exo sur les nombres complexes EmptyJeu 05 Fév 2009, 15:42

titans a écrit:
soit le polynôme: p(Z)= AnZ^n+An-1Z^n-1+....+A1Z+A0
K£{0,1,...,n. Ak£IR}
1-demontrez que : si le degret du polynôme est impaire le polynôme aura au moin une racine réelle

BJR Mademoiselle !!
On pourra supposer an>0 sinon travailler avec Q(z)= -P(z) pour plus de tranquillité !!

Ton exo est un cas particulier du TVI dans sa version GENERALISEE .
Je m'explique :
Soit f une application continue de IR dans IR telle que :
Lim f(x) =+oo quand x ----> +oo
et
Lim f(x) =-oo quand x ----> -oo
Alors il existe un élément c dans IR tel que f(c)=0

Il suffira d'appliquer le résultat ci-dessus en prenant
f(x)=an.x^n + a(n-1).x^(n-1) + .......+ a1.x + a0
Cette fonction de type polynôme étant continue selon ton Cours !!!
n étant impair assure les hypothèses sur les LIMITES de f(x)
quand |x| --->+oo

Maintenant , pour la démonstration du résultat précédent ( que vous n'avez pas au Programme de BACSM )
On exprime que Lim f(x) =+oo quand x ----> +oo
alors il existe A>0 tel que f(A)>1
On exprime que Lim f(x) =-oo quand x ----> -oo
alors il existe B>0 tel que f(-B)<-1
Comme f est continue sur [-B;A] et que f(A).f(-B) < 0 alors le TVI garantit l'existence d'un élément c dans [-B;A] telque f(c)=0

Cette méthode est l'approche Analytique ( par l'Analyse ).

En espérant t'avoir aidé .
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: exo sur les nombres complexes   exo sur les nombres complexes EmptyJeu 05 Fév 2009, 19:01

memath a écrit:
P(z)=z^n+(an-1/an)Z^{n-1)+....+a0/an
P(z) admet n racines complexes , z1,z2....zn

donc z1*z2*....*zn=(-1)^n a0/an
posons z_k=(a_k+i*b_k) ac a_k et b_k des reels
a0/an=(-1)^n (a1+ib1)...(an+ibn)
lors du developement de l expression interessons nous au prduit des b_k on a n nombre b_k avec n i donc c i^{n}(b1*b2...bn)
puisque n est impair i^{n}=+-i €C
on veut que a0/an soit reel donc un b_k=0 donc un Z_k=a_k€ R

(sauf erreur)

BSR memath !!
J'ai corrigé une toute petite erreur en BLEU !!
Et pour ce qui est en ROUGE , je ne suis point d'accord et je pense même que ton raisonnement est FAUX .

On sait que tout polynôme de IR[X] et de degré n a , dans C , EXACTEMENT n racines ; en outre on sait que ces n racines sont 2 à 2 conjuguées ( si a est racine alors son conjugué a* est aussi racine )
Alors si n est IMPAIR , tu peux facilement deviner ce qui peut se produire !!!
Arrivé là :
a0/an=(-1)^n (a1+ib1)...(an+ibn)
Tu n’as pas le choix pour conclure , il te faut determiner la partie imaginaire du produit
(a1+ib1)...(an+ibn)
Ce n’est pas facile !!!
Toi , tu conclus vite en disant puisque a0/an est réel alors (b1*b2...bn) doit être nul ; ce qui est faux car :
Im { (-1)^n (a1+ib1)...(an+ibn) } n’est pas égal à (b1*b2...bn) au signe près !!!

En fait , on pourrait raisonner ainsi :
Le polynôme P(X) ayant n racines dans C , on les regroupe en DEUX PAQUETS
1) Les racines réelles en nombre p
2) Les racines complexes pures , lesquelles peuvent être appariées en paquets de deux , chaque racine complexe pur a étant associée à sa conjuguée a* ( qui est également une racine ) . Si on a formé q couples de cette manière alors , on aura donc 2q racines complexes pur de P(X)
et en tout P(X) aura p+2q racines 2 à 2 distinctes .
Si on écrit que n=p+2q alors FORCEMENT p devra être IMPAIR et par suite p>=1 et c’est tout !!!!
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titans
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MessageSujet: Re: exo sur les nombres complexes   exo sur les nombres complexes EmptyJeu 05 Fév 2009, 20:11

Merci pour tout!
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