complex

Bsr
j vs propose léxo suivant

1: On considère le polynôme P défini par: P(z)= z³ - 6z² +12z -16.
a: Montrer que l'équation (E): "P(z) = 0 " admet une solution dans IN, ensemble des entiers naturels.
b: Donner alors une factorisation de P(z) puis résoudre l'équation (E) dans C, ensemble des nombres complexes.
On appelle a la solution entière de (E), b la solution de (E) dont la partie imaginaire est positive et c la solution de (E) dont la partie imaginaire est négative.
c: Que peut-on dire de b et c?
Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct (O; u , v), un point M est défini par son affixe z. On note alors M(z).
2:Soient les trois points A(a) , B(b) et C(c).
a: Calculer les distance AB , AC et BC. Que peut-on en déduire concernant le triangle ABC?
b: Montrer qu'il existe une rotation r₁ de centre A telle que r₁(B) = C. Donner l'angle a de cette rotation.
c: Soit I le milieu di segment [AB]. Quelle est l'image J de I par r₁? Que peut-on dire des droites (BC) et (I J)?
3: On définit les deux rotations r₂ et r₃ de centre repectifs B et C et d'angle a.
a: Déterminer l'image de B par (r₃or₂or₁), composée des trois rotations.
b: Que peut-on dire dire de (r₃or₂or₁)

salam

1) par test c'est 4.
ou bien on frappe 2 coups à la fois:

P(z) = z^2.(z-4) - 2z(z-4) + 4(z-4) = (z-4)[z^2 -2z +4]

z^2 - 2z + 4 = 0
delta= -12
z' = 1+iV(3) , z" = 1 - iV(3)

enfin:
a=4 , b=1+iV(3) , c=1-iV(3)
-----------------------------
b et c sont conjuguées

2) AB=/b-a/ = 2V(3)
AC=/c-a/ = 2V(3)
BC=/b-c/ = 2V(3)

ABC est équilatéral
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AB=AC #0 =====> il existe une rotation r1 unique de centre A et qui envoie B en C, son angle est (AB,AC)= pi/3

--------------------------
conservation du milieu:
l'image du milieu = milieu des images
I = A*B ====> r1(I) = r1(A)* r1(B) = A*C = J
--------------
pas grand chose : (BC) et (IJ) : sécantes et font un angle de pi/3
-----------------------
r3or2or1(B)= r3or2(C) = r3(A) =B
la somme des angles = pi ====> la composée est une symétrie centrale , comme elle fixe B c'est son centre.


.

BJR à Toutes et Tous !!

Pour miriam , je voudrais simplement rajouter à la solution exhaustive de Mr houssa , ce qui suit :
1) Les racines complexes d'un polynôme P(X) à coefficients réels sont 2 à 2 conjuguées ;
2) Tout polynôme à coefficients réels et de DEGRE IMPAIR admet au moins une RACINE REELLE et le nombre de ses racines réelles est toujours IMPAIR ;
3) Se rappeler que la rotation , en tant que transformation géométrique plane , peut s'interprêter à l'aide de fonctions complexes , je m'explique :
Si a est un complexe donné , A(Re(a);Im(a)) son image dans le plan euclidien IRxIR et T un réel donné , alors la Rotation de centre A et d'angle T est modélisée par l'application de C dans C définie par :

f : z -------> f(z)=Z=a+ (z-a).exp{i.T}

Grace à cela , on peut facilement composer des Rotations par simple composition d'applications ( ce qui est plus facile ) et découvrir la nature de ces compositions .

Merci pr vos aide!!!!!!!!!!!