Bon exercice sur une application continue

salut

a)on a g²(x)=g°g(x)=2g(x)-x
soit g(x)=g(y)==>g²(x)=g²(y)==>2(g(x)-g(y))=x-y dou x=y alors g est injective selon la definition de g alors il est surjective de R a R
b)
on a g²(x)=2g(x)-x
g^3(x)=g°g²(x)=2²(x)-3x
g^4(x)=2^3g(x)-7g(x)

donc avec une petite recurence on aboutit a
g^n(x)=2^(n-1)g(x)-{(2^n-1)-1}x

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d'outre on a g²(x)=2g(x)-x
g^3(x)=2g²(x)-x
g^4(x)=2²g²(x)-3x
g^5(x)=2^3g²(x)-7x



g^n(x)=2^(n-2)g²(x)-{(2^(n-2)-1)x}


donc on g^n(x)=2^(n-1)g(x)-{(2^n-1)-1}x et puis on trouve g(x) en fonction de g^n(x)

Bonsoir badr,

Citation :

a)on a g²(x)=g°g(x)=2g(x)-x
soit
g(x)=g(y)==>g²(x)=g²(y)==>2(g(x)-g(y))=x-y dou x=y alors g est
injective selon la definition de g alors il est surjective de R a R

cette partie est correcte , l'idée est que pour montrer la surjection de g qui est injective et continue sur IR est strictement monotone (c'est classique par le théorème des valeurs intermédiaires).

Mais pour la seconde partie b) essayez de montrer par récurrence sur n que :
quel que soit n £ IN quel que soit x£ IR g^n(x)=ng(x)-(n-1)x

Cordialement Hamza .

resalut Hamza

on par recurence
initialisation ; n=0 g^0(x)=identite=x vrais
l'heridite;
soit x de R on a g^(n+1)=g^n(g(x))=ng²(x)-(n-1)g(x)=n(2g(x)-x)-ng(x)-g(x)=n+1g(x)-nx

dou le resultat qq soit n de N alors g^n(x)=ng(x)-(n-1)x