Problème de Mars 2009

Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie. On note, pour toute norme N sur E, S(N) l’ensemble des endomorphismes f de E tels que :
N(f(x)) ≤ N(x) pour tout x.
Montrer que si S(N) ⊂ S(Nʹ) alors N = a Nʹ pour un certain réel a>=0.

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abdelbaki.attioui a écrit:

Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie. On note, pour toute norme N sur E, S(N) l’ensemble des endomorphismes f de E tels que :
N(f(x)) ≤ N(x) pour tout x.
Montrer que si S(N) ⊂ S(Nʹ) alors N = a Nʹ pour un certain réel a>=0.

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suppossons que S(N) est inclus ds S(N').soit x tq N(x)=1 et N'(x) soit minimal.ainsi pour tout y tel que N(y)=1 on a par la minimalité de N'(x): N'(y)>=N'(x) et on aussi N'(x)>=N'(y) car puisque S(N) est inclus ds S(N').ainsi N(y)=1 ==> N'(y)=N'(x) pour tout y£X....

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