matrices

salut les amis pouriez-vous m'aider à résoudre cette équivalence
soit A et B deux matrices carrées
AB=I <=> BA=I (sachant que la multiplication n'est pas commutative dans Mn ) )

et tel que I est la matrice unitaire du même ordre que A et B

schrodinger a écrit:

et tel que I est la matrice unitaire du même ordre que A et B

BSR schrodinger !!
J'ai parfaitement compris ton problème mais comme je ne sais pas ce que vous faites en Algèbre Linéaire ( en BACSM ) ; je n'ose pas te proposer une solution de crainte d'utiliser un Bagage Trop Fort !!

La propriété est connue pour les endomorphismes d'espaces vectoriels dans le cas de Dimension Finie ; un endomorphisme est INVERSIBLE à DROITE si et ssi il est INVERSIBLE à GAUCHE .
On passe facilement et de manière canonique du Langage Matriciel au Langage d'Endomorphismes !!!!

merci en tout cas ; aprés recherche j'ai trouvé que la bijectivité d'endomorphisme canoniquement associé a une matrice entraine son inversibilité d'ou le résultat .

schrodinger a écrit:

merci en tout cas ; aprés recherche j'ai trouvé que la bijectivité d'endomorphisme canoniquement associé a une matrice entraine son inversibilité d'ou le résultat .

BJR schrodinger !
C'était celà que je te disais dans mon Post au dessus !!
Si E est un espace vectoriel de Dimension Finie sur un corps IK ( IR ou C ) et si B est une base donnée de E ; à tout endomorphime f de E on peut associer canoniquement sa marice A=M(f;B) relativement à B .
On sait que M(fog;B)=M(f;B). M(g,B) et M(f^(-1),B)={M(f,B)}^(-1) si f est INVERSIBLE entre autres ...
On sait aussi que l'on a l'équivalence suivante :
{ f injectif } <===> { f surjectif } <===> { f bijectif }
valable pour f endomorphisme de E.
Donc ta propriété n'est en fait qu'une simple TRADUCTION en Langage Matriciel de l'équivalence ci-dessus .

PS1 : Comme tu l'as dit le Produit de Matrices Carrées de même ordre n'est pas commutatif en général .
PS2 : Cependant , il est des cas ou celà est vrai , notamment :
* : si A est INVERSIBLE , A commute avec son inverse B=A^(-1)
** : toute matrice A commute avec ses matrices puissances A^(n) lorsque n est entier naturel avec la convention A^0=I.
PS3 : Bonne Journée à Toi !!