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 les voleurs d'argents

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samir
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MessageSujet: les voleurs d'argents   les voleurs d'argents EmptySam 09 Sep 2006, 08:40

Bonjour
Sept voleurs ont volé une somme de 100euros tel que chaqu'un des voleurs a volé une somme diffèrente des autres .
Montrer que trois voleurs parmis les septs ont volé au moins 50euros
Wink

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mathman
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MessageSujet: Re: les voleurs d'argents   les voleurs d'argents EmptyVen 15 Sep 2006, 15:26

Ben alors.. toujours personne n'a résolu ce problème? :)

Pourtant il est plus ou moins évident..
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samir
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MessageSujet: Re: les voleurs d'argents   les voleurs d'argents EmptyLun 29 Jan 2007, 20:35

la solution
problemeN65

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: les voleurs d'argents   les voleurs d'argents EmptyLun 29 Jan 2007, 21:34

D'aprés les solutions des champions de la semaine 65.

Soient n_1<n_2<...<n_7 les sommes volées par les 7 voleurs.
Si n_5>15, alors n_5+n_6+n_7>=16+17+18=51 .
Si n_5=<15, alors n_1+n_2+n_3+n_4=<14+13+12+11=50
==>n_5+n_6+n_7=100-(n_1+n_2+n_3+n_4)>=50

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MessageSujet: Re: les voleurs d'argents   les voleurs d'argents EmptyVen 06 Avr 2007, 23:26

ou bien par contraposé
si jamai quand on somme 3 on a toujours <50 alors
x1,..,x7<50/3=16+0.kelkechoz
comme les xn sont distincts alor le problem est possible ssi
16+15+14+13+12+11+10>100
ce ki n'est pas le cas
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mathman
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MessageSujet: Re: les voleurs d'argents   les voleurs d'argents EmptySam 07 Avr 2007, 08:53

100=7*14+2.

On peut essayer d'optimiser.
Donc si a_1 > ... >> a_7 :
si i>j avec a_i >a_j+2, on change en a_i-1 > a_j+1.
Après avoir fait ça pendant un certain temps, les différences entre les consécutifs sont 1 ou 2.
Bon :
si on a deux fois une différence égale à 2, on peut toujours continuer.
Donc au plus une fois.
Donc on a soit 7 nombres consécutifs, donc appelons-les a_1, a_1-1 , ... a_1-6, donc on a 7a_1-21=100, impossible.
De même on exclut tous les endroits où il y a un trou égal à 2, à part un. (je n'ai pas vérifié lequel)
Mais alors il n'y a plus qu'une configuration à vérifier.
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