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 équation diophantienne.

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anasss
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anasss

Masculin Nombre de messages : 188
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MessageSujet: équation diophantienne.   équation diophantienne. EmptySam 28 Fév 2009, 15:56

Résoudre dans Z² l'équation:
x² + xy + y² = 81
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amjad92b
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amjad92b

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MessageSujet: Re: équation diophantienne.   équation diophantienne. EmptySam 28 Fév 2009, 17:46

voici ma solution
(E) : x² + xy + y² = 81
<=> x² + xy + y² - 81 = 0
on pose x variable et y parametre
alors
Delta = y²-4(y²-81)= 324 - 3y²
pour que l'équation (E) admet une ou deux solution Delta >=0
<=> -3y² +324 >= 0
<=> 108>=y²
<=> rac(108)>=y>0 ou -rac(108)=<y<0
puis tu discutes les cas !

je suis pas sûr de ma solution pck c une solution de Tc pt etre ke vs avez étudié des méthodes + facile pour résoudre ça !
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houssa
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MessageSujet: Re: équation diophantienne.   équation diophantienne. EmptySam 28 Fév 2009, 18:00

salam

déjà les solutions existent x=9 , y=0

donc l'équation (en x) du second degré : x² + yx + y²-81 = 0 doit avoir

des solutions entières ====> son delta = carré parfait

====> y² - 4(y²-81) = a² ====> 3(108 - y²) = a²

3 divise (108 - y²)====> 3 divise y² ====> 3 divise y

donc de même 3 divise x

----------------
x = 3x' et y = 3y'

-----------------
l'équation devient : x'² + x'y' + y'² = 9

on recommence la même idée ( delta etc...)

=====> x' = 3x" et y' = 3y"

-------------------------------
l'équation devient : x"² + x"y" + y"² = 1

encore delta ...

donc y"² - 4(y"²-1) = b² ======> b² + 3y"² = 4

OOUUUFFFF!

alors c'est terminé pour :

b=2ou-2 , y"=0 =====> y'=0 ====>y=0 ===> x =9 ou -9

b=1ou-1 ,

y"= 1 ======>y'=3 ===> y = 9 ====> x =0
y"=-1 ======>y'=-3 ===> y=-9 ====> x= 0


conclusion (x,y) =(9,0) ou (-9,0) ou (0,9) ou (0,-9) -----------------------------------------------------------------------
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houssa
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MessageSujet: Re: équation diophantienne.   équation diophantienne. EmptySam 28 Fév 2009, 18:21

rectificatif ( oubli)

y"=1 ......etc......=====> y=9 ====> x= 0 ou -9
y"=-1 ....etc ......=====> y=-9 =====> x=0 ou 9

---------------------donc ajouter comme solution

(-9,9) et (9,-9)


.-------
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Sasuke
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Sasuke

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MessageSujet: Re: équation diophantienne.   équation diophantienne. EmptySam 28 Fév 2009, 19:13

houssa a écrit:

====> y² - 4(y²-81) = a² ====> 3(108 - y²) = a²

3 divise (108 - y²)====> 3 divise y² ====> 3 divise y

salam khoya
t'es sur de ça ??
3(108-y²)=a² => 3 divise y² ?
puis supposant que 3 divise y², elle va pas diviser y!
contre exemple
4/36 => 4/6² mais 4 ne divise 6 ^^
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houssa
Expert sup


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MessageSujet: Re: équation diophantienne.   équation diophantienne. EmptyDim 01 Mar 2009, 07:04

salam

plus de détail:

3 divise 108 - y²====> y²= 108 + 3k=3(36+k)

------------------------

3 divise y², or 3 premier ====> 3 divise y

---------------------------
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Sasuke
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MessageSujet: Re: équation diophantienne.   équation diophantienne. EmptyDim 01 Mar 2009, 09:35

oui mais je voulais savoir pourquoi :
3(108-y²)=a² => 3 divise (108-y²) ?
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Hajar'S
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Hajar'S

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MessageSujet: Re: équation diophantienne.   équation diophantienne. EmptyDim 01 Mar 2009, 12:15

Sasuke a écrit:
oui mais je voulais savoir pourquoi :
3(108-y²)=a² => 3 divise (108-y²) ?
je crois c'est juste si a£Z
et puisqu'il a trouvé ke delta est un carré parfait donc a est un nombre entier.


Dernière édition par Hajar1 le Dim 01 Mar 2009, 15:18, édité 1 fois
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Sasuke
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MessageSujet: Re: équation diophantienne.   équation diophantienne. EmptyDim 01 Mar 2009, 14:44

ah d'accord merci
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MessageSujet: Re: équation diophantienne.   équation diophantienne. Empty

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