étude d'une suite

Bonjour, j'ai un dm de maths sur les suites et je bloque sur cet exercice :

On considère la suite (Un) définie par U0 = 900 et, pour tout entier n :
Un+1 = 0,6 Un + 200 (1)

1) On considère la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par :
Vn = Un - 500 (2)

a) Déduisez-en à l'aide de l'égalité (2) l'expression de Vn+1 en fonction de Vn .
b) Exprimer Vn en fonction de n. En déduire que :
Un = 400 X (0,6) exposant n + 500.

c) Montrer que Un est décroissante.


Aidez-moi svp
Merci d'avance

maya1011 a écrit:

Bonjour, j'ai un dm de maths sur les suites et je bloque sur cet exercice :

On considère la suite (Un) définie par U0 = 900 et, pour tout entier n :
Un+1 = 0,6 Un + 200 (1)

1) On considère la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par :
Vn = Un - 500 (2)

a) Déduisez-en à l'aide de l'égalité (2) l'expression de Vn+1 en fonction de Vn .
b) Exprimer Vn en fonction de n. En déduire que :
Un = 400 X (0,6) exposant n + 500.

c) Montrer que Un est décroissante.

BSR plutôt maya1011 !!
Puisque pas de réponses qui fusent alors je me porte volontaire !!
Tu calcules V(n+1)=U(n+1) - 500 et tu remplaces U(n+1) par sa valeur en fonction de U(n)
Tu trouveras que V(n+1)={0.6}.V(n)
Donc la suite {Vn}n est géométrique de raison 0.6 et de 1er terme
V0=Uo-500=900-500=400
ensuite tu en déduiras que Vn=400 .{0.6}^(n) pour tout entier naturel n .
Puis Un=Vn+500=400 .{0.6}^(n) + 500 pour chaque entier naturel n .

Pour le c) essayes toute seule !
Calcules Un-U(n+1) et montres que cette DIFFERENCE est POSITIVE .

Bonne Chance !!

J'ai compris pour ce qui ait du 1)a), mais pour le b) j'ai pas compris. Comment déduire que Vn=400 .{0.6}^(n) ???

maya1011 a écrit:

J'ai compris pour ce qui ait du 1)a), mais pour le b) j'ai pas compris. Comment déduire que Vn=400 .{0.6}^(n) ???

BSR !
C'est une formule relative aux suites GEOMETRIQUES tout simplement !!
D'ailleurs , tu peux la prouver PAR RECURRENCE sur n .
Si {vn}n est une suite géométrique de raison A et de 1er terme v0
alors son terme général vn est égal à v0.A^(n)

Oui c'est bon j'ai retrouvé.
Merci beaucoup pour ton aide.
Je ferais la dernière question demain.
Merci encore

Bonjour, je bloque pour la dernière question :
c) Montrer que Un est décroissante.

Un+1 - Un = 400 x (O,6)^n+1 + 500 - 400 X (0,6)^n - 500
Un+1 - Un = 400 x ((O,6)^n+1 - (0,6)^n)

Mais après je bloque
Aidez-moi svp
Merci d'avance

maya1011 a écrit:

Bonjour, je bloque pour la dernière question :
c) Montrer que Un est décroissante.

Un+1 - Un = 400 x (O,6)^n+1 + 500 - 400 X (0,6)^n - 500
Un+1 - Un = 400 x ((O,6)^n+1 - (0,6)^n)

Mais après je bloque
Aidez-moi svp
Merci d'avance

Salut maya1011 !!
Tu étais presqu'arrivée !!
Tu mets (0.6)^(n) en FACTEUR dans ta dernière parenthèse et c'est tout !!

Un+1 - Un = 400 x ((O,6)^n+1 - (0,6)^n)
=400 x {0.6}^(n).{0.6 -1}
= - 160.{0.6}^n et cette quantité est STRICTEMENT NEGATIVE.
Donc la suite {Un}n est même STRICTEMENT DECROISSANTE !!

Alors Un+1 - Un < 0
Donc Un est décroissante

C'est ça ???

maya1011 a écrit:

Alors Un+1 - Un < 0
Donc Un est décroissante

C'est ça ???

Wé bien sûr‼

OK mercii