exercice 1:
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1) je note : intg(0,x) = intégrale de 0 à x
intg(0,x)[(x-t).f(t)dt] = x.intg(0,x)[f(t)dt] - intg(0,x)[tf(t)dt]
dérivons une 1ère fois:
1.intg(0,x)[f(t)dt] + x.f(x) - xf(x) = 1/4.[f'(x) - cosx]
dérivons une 2eme fois:
f(x) = 1/4.[f"(x) + sinx]
====> f"(x) - 4f(x) = - sinx.
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g(x) = asinx ==> g"(x) = -asinx
g sol. de E <==> -asinx - 4asinx = -sinx <==> -a-4a = -1
<==> a = 1/5.
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on pose h = g - u
u solu. de E <==> u" - 4u = - sinx
<==> (g" - h") -4( g - h) = - sinx
<==> h" - 4h = g"-4g+sinx = -1/5.sinx -4/5.sinx + sinx = 0
<==> h solu. de y" - 4y = 0
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intg(0,0)[.......] = 0 ===> 1/4.[f(0) - sin 0]=0 ===> f(0) = 0.
et 1/4.[f'(0) - cos 0]=0 ===> f'(0) = 1.
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y" - 4y =0 admet pour solu: y = a.Exp(2x) + b.Exp(-2x) . ( un autre a )
y remplace h , et u remplace f
f(x) = g(x) - h(x)
f(x) = 1/5.sinx - a.Exp(2x) - b.Exp(-2x)
f(0)=0 ===> -a -b =0
f'(x) = 1/5.cosx - 2a.Exp(2x) + 2b.Exp(-2x)
f'(0)= 1 ===> 1/5 - 2a + 2b = 1
====> a=1/5 et b= -1/5
enfin f(x) = 1/5.[ sinx - Exp(2x) + Exp(-2x) ].
------------Voilà une tranche ...........
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