Exo

Soi a,b et c trois nombres reels strictement positifs tel que a<b+c
Prouver que a/(1+a)<b/(b+1) + c/(c+1)

Bonsoir

Dans des exos bien plus complexe on pourrait tenter une approche par somme infinie ...
vers une généralisation du genre

fais le dénominateur commun et tu trouve en haut abc+2bc+(b+c)-a
étant donné l'énoncé le tt est positif
ou bien pour faire plus classe fais la fonction f(x)=x/(x+1)et tu trouveras a/a+1 unférieur a un otre nombre ki é supérieur a c/c+1 + b/b+1

NB :
a<b+c n'implique pas que a<b et a<c

GAARA-92 a écrit:

Soi a,b et c trois nombres reels strictement positifs tel que a<b+c
Prouver que a/(1+a)<b/(b+1) + c/(c+1)

[i]

amjad92b a écrit:

NB :
a<b+c n'implique pas que a<b et a<c

Bien dit mais je crois qu'aucune erreur du genre n'a été commise

c'était jsute une remarque pour ceux qui veulent procéder de maniere géométrique

si on pose f(x) =x/(1+x)
on aura
f(a)<f(b+c) pck f est strictement croissante !
et nn pas f(a)<f(b)+f(c

c'était jsute une remarque pour ceux qui veulent procéder de maniere géométrique

si on pose f(x) =x/(1+x)
on aura
f(a)<f(b+c) pck f est strictement croissante !
et nn pas f(a)<f(b)+f(c)

amjad si on calcule la différence on trouve ke b/b+1 + c/c+1
supérieur à b+c/b+c+1

a b et c sont strictement positif
alors
abc<2abc
abc+ab+ac<2abc+ab+ac
abc+ab+ac<2abc+ab+ac+2bc
et puisque
a<b+c alors:
abc+ab+ac+a<2abc+ab+ac+2bc+b+c
a(bc+b+c+1)<a(2bc+b+c)+2bc+b+c
a(b+1)(c+1)<(1+a)(2bc+b+c)
a/(a+1)<(2bc+b+c)/(b+1)(c+1)
a/(a+1)<(b(c+1)+c(b+1))/(b+1)(c+1)
a/(a+1)<b(c+1)/(b+1)(c+1) +c(b+1)/(b+1)(c+1)
a/(a+1)<b/(b+1) + c/(c+1)