integrale

les alpha sont strictement positifs

salut Mr kalm !!!

je vois pas la difficulté mais seulement

bon pour cela on peut (comme mthode proposé) d'utiliser la fonction definie par:

avec .

d'où l'integrale devient :



avec µ mesure de lebesgue sur le cube de Hilbert

ce qui est facile a calculer puisque la determination de max(f(X)) sur [0,1]^n est facile.

et merci
PS: il y'a des methodes plus faciles mais un peu longues.
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lahoucine

ca merite pas utiliser la theorie des mesures et la topologie produite,en tt cas j'aime bien voir le resultat pour voir si c le meme que le mien

salut kalm !!!

ben puisque l'ensemble:

est finie donc il est facile de trouver son maximum aprés que discuter qlq cas ou bien generaliser tt les cas . et puis calculer l'integrale voulue...

Mais juste pour que l'integrale devient plus fort il faut considerer l'ensemble suivante:



et puis remplacer maxA par max B dans votre integrale ça peut donnera une reseltat trés effecace et jolie et merci


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lahoucine

Bonjour ;

Si tous les alpha_i sont strictement positifs cette intégrale est finie est vaut S/(1+S)
où S est la somme pour i=1...n des inverses des alpha_i sauf erreur bien entendu

oui mr abdelali c'est ca que j trouvé ,j fait mm une petite generalisation ,c'est d'integrer seulement k fois avec k=<n
on aura {s+max{ai^alpha_i/i£{k+1,...,n}}^s}/1+s
mais j'aimerais bien voir ta methode

Merci pour la confirmation Mr kalm

justification :

on découpe (l'hypercube) C=[0,1]^n en les n (hypertriangles) T_i=max(x_k^alpha_k)k=1...n = x_i^alpha_i

l'intersection de T_i et T_j étant de mesure nulle pour i#j puisque incluse dans (l'hypersurface) x_i^alpha_i = x_j^alpha_j

notre intégrale I est la somme des intégrales I_i sur T_i

or sur chaque T_i on a x_i qui varie de 0 à 1 et les x_j de 0 à x_i^(alpha_i/alpha_j)

et un calcul facile donne alors I_i = 1/(alpha_i + Sum_k(alpha_i/alpha_k))

qui s'écrit aussi I_i = (1/alpha_i)*(1/(1+S)) sauf erreur bien entendu

kalm a écrit:

oui mr abdelali c'est ca que j trouvé ,j fait mm une petite generalisation ,c'est d'integrer seulement k fois avec k=???????
on aura {s+max{ai^alpha_i/i£{k+1,...,n}}^s}/1+s
mais j'aimerais bien voir ta methode

tu peux completer ta methode MR KALM
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int

c vraiment belle la theorie de la mesure et merci pour abdelali et mathema
pour wagshall j pas fait de mathode !!!, pour le k c'est inf a n

Pour wagshall

pour comprendre la méthode utilisée voyons ce qu'elle devient pour le cas particulier n=2

pour simplifier les notations notons f : (x,y) ---> max(x^a,y^b) la fonction à intégrer sur le carré (plein) C = [0,1]²

ici on a T1 = { (x,y)£C / max(x^a,y^b)=x^a }
et T2 = { (x,y)£C / max(x^a,y^b)=y^b }

il est clair que C = T1 U T2
et que T1 n T2 = { (x,y)£C / x^a = y^b } = { (x,y)£C / y = x^(a/b) }

T1 n T2 est donc une courbe tracée sur le carré C (ensemble de mesure nulle)

l ' intégrale de f sur C vaut donc la somme de ses deux intégrales sur T1 et T2

et comme T1 = { (x,y) / 0 =< x =< 1 , 0 =< y =< x^(a/b) }

et T2 = { (x,y) / 0 =< y =< 1 , 0 =< x =< y^(b/a) }

on montre alors facilement queint_T1 (f) = 1/(a + 1 +(a/b)) et int_T2 (f) = 1/(b + a +(b/a))

et donc int_C (f) = S/(1 + S) où S = (1/a) + (1/b) sauf erreur bien entendu

des erreurs de manipulation de balises ! J'espère qu'un modérateur puisse arranger cela

elhor_abdelali a écrit:

des erreurs de manipulation de balises ! J'espère qu'un modérateur puisse arranger cela

Bonjour Abdelali, C'est fait. Le problème, peut-être, de police.
le texte que tu as mis en grand taille contient déjà un texte de petite taille
( c'est l'indice) . On pourra procéder comme suit:

Soit T1 = l'ensemble ....

Merci beaucoup abdelbaki