ressemble au TAF

slt !!

soit f:R-->R deux fois derivable sur R tel qu il existe un c , tel que :

qqsoit a et b tel que a#b f'(c)#(f(a)-f(b))/(a-b)

prouver que f"(c)=0

L'ensembe I={(f(x)-f(y))/(x-y) / x>y} est l'image du convexe
C={(x,y)/ x>y} de IR²
par l'application continue (x,y) --> (f(x)-f(y))/(x-y) sur IR²\{(x,x) /x dans IR}
==> I intervalle de IR
Comme f'(c) n'est pas dans I ==> f' possède un extrémum en c
==> f"(c)=0

En prime: ]m,M[ c I c [m,M] où m=inf f' et M=sup f' ( eventuellement infini )

oui l idee est de montrer que f admet un extremum en c.
on peut y aller tt simplement par montrer que si pr tt c f"(c)#0 donc il existe a et b tel que f'(c)=f(a)-f(b)/a-b