olympiade 2009

a,b,c>0 MQ
a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc+3/2>=2(a+b+c)

salut
a²+b²+c²+ab+ac+bc>=2/3(a+b+c)²
posons x=a+b+c
on a: 2/3x²-2x+3/2>=0
donc: 2/3(a+b+c)²+3/2>=2(a+b+c)
d ou l inégalité.

h-o-u-s-s-a-m a écrit:

salut
a²+b²+c²+ab+ac+bc>=2/3(a+b+c)²
posons x=a+b+c
on a: 2/3x²-2x+3/2>=0
donc: 2/3(a+b+c)²+3/2>=2(a+b+c)
d ou l inégalité.

slt houssa
il y a une erreur là(2/3???)

Bonjour ;

en sommant les inégalités :

2ab =< a² + b²
2bc =< b² + c²
2ca =< c² + a²

on a : 2ab + 2bc + 2ca =< 2(a² + b² + c²)

et en ajoutant a² + b² + c² aux deux membres on a (a + b + c)² =< 3(a² + b² + c²)

d'où :

2(a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca) + 3 - 4(a + b + c) = (a + b + c)² + a² + b² + c² + 3 - 4(a + b + c) >= (4/3)(a + b + c)² - 4(a + b + c) + 3

c'est à dire :

a² + b² + c² + ab + bc + ca + 3/2 - 2(a + b + c) >= (2/3)(a + b + c - 3/2)² sauf erreur bien entendu

bonne soirée à vous tous.

considerons le polynome :



calculons son discriminant :





Done !

egalité si et seulement si delta=0 donc a=b=c=1/2

slt memath,
moi j 'ai trouvé une autre méthode
si on multiplie le tout par 2 on aura
a^2+2ab+b^2+a^2+2ac+c^2+c^2+2bc+b^2+1+1+1>=2(a+b)+2(a+c)+2(b+c)
<==>(a+b)^2-2(a+b)+1+(b+c)^2-2(b+c)+1+(a+c)^2-2(a+c)+1>0
<==>(a+b-1)^2+(b+c-1)^2+(a+c-1)^2>=0 ce qui est vrai
avec le même cas d'égalité

salimt a écrit:

h-o-u-s-s-a-m a écrit:

salut
a²+b²+c²+ab+ac+bc>=2/3(a+b+c)²
posons x=a+b+c
on a: 2/3x²-2x+3/2>=0
donc: 2/3(a+b+c)²+3/2>=2(a+b+c)
d ou l inégalité.

slt houssa
il y a une erreur là(2/3???)

salut
ou est l erreur?
a²+b²+c²+ab+ac+bc-2/3(a+b+c)²=(a²+b²+c²-ab-ac-bc)/3>=0
ce qui est toujours vrai