Bonjour;
solution postée
Solution du problème d’avril 2009
1. x^n= e^x équivaut à n lnx = x ( car x est positif cf. « intervalle ») .Considérons la fonction fn(x) = nlnx-x
fn’(x)=n/x -1 , pour x appartenant à ]0,n[ : fn’(x)>0 donc fn est strictement croissante sur cet intervalle ; fn est donc injective.
fn est continue sur ]0,n[ implique fn est surjective .
donc fn est une bijection de ]0,n[ dans ]- l’infinie , n(ln(n)-1)[
n>=3 implique n>e implique 0 appartient à ]- l’infinie , n(ln(n)-1)[
comme fn est une bijection, alors il existe un seule réel c appartenant à ]0,n[ : fn (c) =0
[fn(0) ≠0 et fn(n) ≠ 0] alors il existe un seul réel c appartenant à [0,n]:
fn (c) = 0.
donc Il existe un seul réel xn appartenant à [0,n] : x^n - e^x = 0
2. Nous savons que fn est bijective sur] 0,n].
Et puisque fn(1) = -1, alors f (]0,1[ )= ] – l’infinie , -1[ , donc les solution de l’équation précédente n’appartiennent pas à [0,1]
On peut donc restreindre l’étude sur [1,n].
Considérons la fonction gn= fn+1(x) – fn(x),
On a gn= fn+1(x) – fn(x) = (n+1)lnx – x – ( n lnx – x) = ln x
Pour x appartenant à ]1,n] : gn(xn)>0,
Pour tout xn : gn(xn)>0 implique fn+1(xn) – fn(xn) = fn+1(xn) > 0
Puisque fn+1(xn) > 0 ( avec fn+1 strict. Croiss. ) alors ,la solution xn+1 telle que fn+1(xn+1)=0 est inférieur à xn. donc pour tout n>= 3: xn+1<xn. La suite est donc strictement décroissante et est minoré par 1
Donc elle converge vers 1.
3. (xn)n converge vers 1 ; alors pour n tendant vers l’infinie on a :
Lim( (xn – ( 1 +1/n +3/2n² )) -1/n² ) = 0 , donc xn – ( 1 +1/n + 3/2n² ) = o(1/n² )
D’où xn = ( 1 +1/n +3/2n² ) + o(1/n² ) pour n tendant vers l’infinie.
Alhamdolillah
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