petit exercice

voici un exercice que j'ai trouvé déja dans un site : ABCD est un carré dont les côtés ont pour longueur 1.
M , P , R et S sont 4 points situés respectivement sur [AB] , [BC] , [CD] et [DA].
Montrer que 2 < MP2 + PR2 + RS2 + SM2 < 4

cet exercice est deja present dans une autre page mais il nya pas sa solution .
alors si vous voulez bien le resoudre pour comparer nos reponses.

je crois que vous voulez dire montrer que
2<MP²+PR²+RS²+SM²<4
ET MERCI

oui .merci de bien vouloir me poster la reponse.

est ce qu'il y a des informations sur M et P et S et R ou non?

nous avons
MP²+PR²+RS²+SM²-4=(MB²+BP²)+(PC²+RC²)+(AM²+AS²)+(SD²+DR²)-4(Pytagore)
=(BP²+PC²)+(MB²+AM²)+(AS²+SD²)+(RC²+DR²)-4
=BC²-2PB*PC+AB²-2AM*MB+AD²-2AS*SD+DC²-2BP*PC-4
=1+1+1+1-2(PB*PC+AM*MB+AS*SD+BP*PC)-4
=-2(PB*PC+AM*MB+AS*SD+BP*PC) <0
donc MP²+PR²+RS²+SM²<4

je donne la solution de tout l'exo
MP²+PR²+RS²+SM²=(BP²+PC²)+(MB²+AM²)+(AS²+SD²)+(RC²+DR²)
MP²+PR²+RS²+SM²=(BP+PC)²+(MB+AM)²+(AS+SD)²+(RC+DR)²-2(PB.PC+AM.MB+AS.SD+BP.PC)
MP²+PR²+RS²+SM²=4-2(PB.PC+AM.MB+AS.SD+BP.PC)
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(BP+PC)²≥4BP.PC pcq (BP-PC)²≥0
1²≥4BP.PC alors BP.PC≤1/4
DE LA meme façon on demontre que
BP.PC≤1/4
AM.MB≤1/4
AS.SD≤1/4
BP.PC≤1/4
en sommant
PB.PC+AM.MB+AS.SD+BP.PC≤4*1/4
PB.PC+AM.MB+AS.SD+BP.PC≤1
alors
2(PB.PC+AM.MB+AS.SD+BP.PC)≤2
-2(PB.PC+AM.MB+AS.SD+BP.PC)≥-2
4-2(PB.PC+AM.MB+AS.SD+BP.PC)≥4-2
4-2(PB.PC+AM.MB+AS.SD+BP.PC)≥2
d'où MP²+PR²+RS²+SM²≥2 (1)
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on a MP²+PR²+RS²+SM²=4-2(PB.PC+AM.MB+AS.SD+BP.PC)
alors MP²+PR²+RS²+SM²-4=-2(PB.PC+AM.MB+AS.SD+BP.PC)
d'où MP²+PR²+RS²+SM²-4≤0
donc MP²+PR²+RS²+SM²≤4 (2)
de (1) et (2) on a 2 < MP² + PR² + RS² + SM² < 4

Bravoo Majdouline!

mercii