polynomes/pas mal!

P(x)=0 est solution.
Si P(x) n'est pas le polynôme nul, soit ax^n (a non nul, n>=0) le monôme de plus haut degré de P(x).

Le monôme de plus haut degré de P(2P(x)) est donc 2^n a^(n+1) x^(n^2)
Le monôme de plus haut degré de 2P(P(x)) est donc 2 a^(n+1) x^(n^2)
Le monôme de plus haut degré de 2(P(x))^2 est donc 2 a^2 x^(2n)

Si n^2 > 2n, on a donc 2^n a^(n+1) = 2 a^(n+1), donc n=1, ce qui est impossible
Si n^2 < 2n, on a 0 = 2 a^2 x^(2n), ce qui est impossible.
Donc n^2=2n et n=0 ou 2 avec 2^n a^(n+1) = 2 a^(n+1) + 2 a^2
n=0 implique a = 2 a + 2 a^2 et donc a=-1/2
n=2 implique 4 a^3 = 2 a^3 + 2 a^2 et donc a=1.
En posant P(x)=x^2 + bx +c et en reportant dans l'équation initiale, on trouve c=0 et b quelconque

Les solutions sont donc :

P(x)=0
P(x)=-1/2
P(x)=x^2 + bx