Algèbre

Salut à tous

Je voudrai un coup de main pour résoudre cet exo svp

on considère l'ensemble F={z£C/z=a+bj/(a,b)£Z²} et j=e^{i2pi/3}
a)démontrer que (E,+,x) (x multiplié) est un anneau commutatif unitaire.
j'ai démontré que (E,+) est un sous groupe de (C,+) puis que (E,x) est une partie stable de (C*,x) pour déduire que 0 est l'élément neutre dans (E,x).
est ce juste ?

b)détérminer tout les éléments de E tel que le module de z=1 on note F l'ensemble de ces éléments.

j'ai trouvé F={1,-1,-j,-1-j}.

c)démontrer que F est l'ensemble des éléments qui admettent une symétrie.
(je sais pas trop comment faire)

II)1)Soit (G,*) un groupe,et H et K deux sous-groupes de G.

je cherche à démontrer que :HUK est un sous-groupe de G<---> H inclus dans K ou K inclus H dans

2)Soit (G,\star) et (G',T) deux groupes et f un homomorphisme de G vers G'.
a-démontrer que si H est un sous groupe de G alors f(H) est un sous-groupe de G'.

3)Soit g un homomorphisme de (G,T) vers (G,T): démontrer que g(e)=e.

Merci beaucoup pour votre aide

Un petit up ^^

salam

a) Rq: j² = -1-j

unitaire : il existe un élément neutre pour x ===> c'est 1

b) |Z|=1 <==> Z.Z* = 1 (Z* = Z bar)

(a+bj)(a+bj)* = 1 <==> aa* + 2Ré(a*bj) + bb* = 1

<==> a² - ab + b² = 1 <==> (a-b)² = 1 - ab donc 1 -ab >= 0

<==> a² + b² = 1 +ab donc 1 +ab >= 0

enfin : -1 =< ab =< 1

(a,b)€{(-1,-1) (-1,0) (-1,1) (0,-1) (0,0) (0,1) (1,-1) (1,0) (1,1) }

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symétrique sous entendu pour la x

(a+bj)(a'+b'j) = 1 <==> aa' + (ab'+a'b)j + bb' = 1

<==> aa' + (ab'+a'b)(-1/2) + bb' = 1 et (ab' + a'b)(V(3) / 2)=0

donc : ab' + a'b =0 et aa' + bb' = 1

je te laisse continuer ....... j'ai des commissions à faire ...

je reviendrai....

.

je continue

j'ai oublié de vérifier les (a,b) acceptables d'après : a² + b²= 1+ab

F = { 1+j , -1-j , 1 , -1 , j , -j }
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la suite :

aa'+bb'=1 et ab' + a'b = 0

1er cas : b=0
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aa'=1 et ab'=0 ===> a#0 et b'=0

donc
(a,b) = (1,0) ----------> (a',b') = (1,0)
(a,b) = (-1,0) -----------> (a',b') = (-1,0)

2eme cas a=0
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symétrie des rôles
(a,b)=(0,1) ----------> (a',b')=(0,1)
(a,b)=(0,-1) ----------> (a',b')=(0,-1)

3eme cas:
a et b non nuls 0
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aa'+bb'=1 ( BEZOUT)
====>( a ,b') , (a' , b) , (a,b) et (a',b') sont 2 à 2 premiers entre eux

ab' = - a'b ===> a|a' et b' |b =====> a' = ka et b = k'b'

ab' = - kk'ab' ====> -kk' = 1
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k=1 , k'=-1 =====> a'=a et b'=-b =====> a²-b²=1
(a-b)(a+b)=1
(a,b)=(1,0) =====> (a',b')=(1,0)
(a,b)=(-1,0) ====> (a',b')=(-1,0)
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k=-1 , k'=1 ===> a'=-a et b'=b ===> -a²+b²=1
(b-a)(b+a)=1
(a,b)=(0,1) =====>(a',b')=(0,1)
(a,b)=(0,-1) ===> (a',b')=(0,-1)
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donc je pense qu'il ya une erreur car on obtient pas (1,1) et(-1,-1)

d'ailleurs on peut voir que : 1+j n'a pas de symetrique

il faudrait : a'+b'=1 et a'+b'=0 impossible

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je vais réflechir encore ....

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en effet une erreur de calcul

(a+bj)(a'+b'j) = 1 ====> aa' + (ab'+a'b)j + bb' j² = 1 ( j² a sauté)

c'est le pb du LIVE!!

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je reprends : aa' + (ab'+a'b)(-1/2 + iV3/2) + bb'( -1/2 -iV3/2) = 1

===> aa' - bb'/2 - (ab'+a'b)/2 = 1 et (ab'+a'b-bb')=0

====> ab' + a'b = bb' et aa' - bb' = 1 (BEZOUT)

b premier avec a et ab' = b(b'-a') ===> b |b'

===> b'=kb et par suite a' = k(b-a)

===> ak(b-a) - kb² = 1 ====> k( ab - a² - b²) = 1

k=1 ====> ab - a² - b² = 1
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donc :
(a-b)² = -1 - ab >=0 =====> ab =< -1
et a²+b² = ab - 1 >= 0 =====> ab >= 1

impossible
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k=-1 ====> ab - a² - b² = 1 =====> a² +b² - ab = 1

c'est bien la propriété des éléments de F .

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OOOOUUUUFFFFF

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Merci beaucoup beaucoup Mr.Houssa je vous suis très reconnaissante

pour II
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1) sens: <===:(je note < : inclus)

si H < K (par exp) ------> HUK = K donc sous gr

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sens : ===> ( je note x' le sym .de x)

supposons :il existe , x € H \ k et y € K \ H

x*y € HUK donc 2 cas

x*y € H ------> x'*x*y € H ---> e*y =y € H absurde
x*y € K ------> x*y*y' € K ---> x*e =x € K absurde
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donc la supposition est fausse

-----> (x n'exite pas) ou (y n'existe pas)
------> ( H < K ) ou ( K < H )
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2) soient X et Y € f(G)

XTY= f(x)Tfy) =f(x*y) € f(G)=======> T est une LCI
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(XTY)TZ =[f(x)Tf(y)]Tf(z) = f(x*y)Tf(z) = f((x*y)*z)
xT(YTZ) = f(x)Tf(y*z) = f(x*(y*z))

* étant assoc. ===> T assoc.
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e = neutre pour *

XTf(e)= f(x*e) =f(x) = X = f(e*x) = f(e)Tf(x) = f(e)TX

donc f(e) = neutre pour T

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X=f(x) ; X' = f(x')

XTX'=X'TX= f(e)

x' = sym. de X
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3) g(e)Tg(e) = g(e) dans g(G) < G

g(e)Te = g(e) dans G

--------> g(e)Te = g(e)Tg(e)

-----> g(e)' T g(e) T e = g(e)' T g(e) T g(e)

------> eT e = e T g(e) -------------> e = g(e)

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