Inegalité avec puissance et expo

Montrer que pour tout entier k>=0 on a : exp(k)>=k^k/k!

On se demande d'où te vient l'inspiration pour cette question... :p

la question n'est pas si difficile !

Par stricte croissance de la fonction logarithme, l'inégalité se transforme en :

k>= klnk-lnk=lnk(k-1)

On pose la fonction f(x)=x-(x-1)lnx
On dérive, on fait un tableau de variation.
On conclut.

Bien cordialement;

hamzaaa a écrit:

On se demande d'où te vient l'inspiration pour cette question... :p

Hehe question posée dans le preliminaire de maths I en mines ponts 2009

EvaristeGalois a écrit:

la question n'est pas si difficile !

Par stricte croissance de la fonction logarithme, l'inégalité se transforme en :

k>= klnk-lnk=lnk(k-1)

On pose la fonction f(x)=x-(x-1)lnx
On dérive, on fait un tableau de variation.
On conclut.

Bien cordialement;

Plus simple en ecrivant le DSE de la fonction expo...

Le concours Mines Pont a eu lieu aujourd'hui à Rabat, je ne le passe pas , mais j'ai juste vu plein de nouvelles tetes dans mon lycée !

Bref, c'est quoi DSE ? Je ne suis pas habitué aux abréviations de ce forum, je suis nouveau

bonjour a tous,
bonsjour Weierstrass,
Ou est ce que je peux trouver l'épreuve de mathématiques du concours commun mine ponts?

EvaristeGalois a écrit:

Le concours Mines Pont a eu lieu aujourd'hui à Rabat, je ne le passe pas , mais j'ai juste vu plein de nouvelles tetes dans mon lycée !

Bref, c'est quoi DSE ? Je ne suis pas habitué aux abréviations de ce forum, je suis nouveau

Ah bon t'es a Descartes alors , non DSE c'est pas abréviation du forum , c'est : Developpement en serie entiere

stifler a écrit:

bonjour a tous,
bonsjour Weierstrass,
Ou est ce que je peux trouver l'épreuve de mathématiques du concours commun mine ponts?

Bonjour

tu l'as pas passé?Bon Maths I c'était un probleme d'integration (theroeme des moments) c'était assez simple comparée a Maths II qui traitait la topologie (distance , compacité , adherence ...) c'est plus interessant que le premier si tu veux les travailler.Je les aurais scanné mais dommage je n'ai pas de scanner , donc en attendant qu'ils apparaissent sur le net.

Amicalement

Oki merci, je ss de Descartes effectivement, et je n'ai jamais étudier le DSE ^^

salam

pour k = 4

exp(4) >= (4^4)/4

exp(4) >= 4^3

54,5981...... >= 64

Vous trouvez çà logique ???????????

----------------------------------

Desolé , il s'agissait d'un k! c'est reglé maintenant , merci de l'avoir signalé

EvaristeGalois a écrit:

Oki merci, je ss de Descartes effectivement, et je n'ai jamais étudier le DSE ^^

C'est normal , c'est un cours de spé , et ben tu peux faire autrement , ya mille et une façon de faire apparemment ,j'ai dit DSE car ca allait ainsi dans le contexte de l'epreuve , d'ailleurs c'est pas tres difficile sinon elle n'aurait surement pas figuré dans les questions préliminaires.

salut

mais je trouve ça evident!! e^k = sum[i>=0]( k^i / i!) d'où l'existence de k dans [[ i ; +00 [[ car k in IN.....

______________
sugnature

wagshall a écrit:

salut

mais je trouve ça evident!! e^k = sum[i>=0]( k^i / i!) d'où l'existence de k dans [[ i ; +00 [[ car k in IN.....

______________
sugnature

BJR à Vous Toutes et Tous !!
BJR wagshall !!
BJR Mahdi !!! Je souhaite pour Toi de Très Bons Scores et Les Meilleures Ecoles que Tu Souhaites Avoir !!

Je pense que Weierstrass n'a pas suspecté un seul moment l'évidence de la question , s'agissant d'une question préliminaire et on sait Tous que les QP ne sont faites que pour chauffer et s'échauffer ......
Sinon , il aurait pu écrire et c'est plus simple , que :
Pour tout x dans IR , exp(x) > {x^k}/k!
ce qui résulte du DSE de exp(x) standart convergeant sur IR tout entier ; puis prendre x=k .

Oeil_de_Lynx a écrit:

wagshall a écrit:

salut

mais je trouve ça evident!! e^k = sum[i>=0]( k^i / i!) d'où l'existence de k dans [[ i ; +00 [[ car k in IN.....

______________
sugnature

BJR à Vous Toutes et Tous !!
BJR wagshall !!
BJR Mahdi !!! Je souhaite pour Toi de Très Bons Scores et Les Meilleures Ecoles que Tu Souhaites Avoir !!

Je pense que Weierstrass n'a pas suspecté un seul moment l'évidence de la question , s'agissant d'une question préliminaire et on sait Tous que les QP ne sont faites que pour chauffer et s'échauffer ......
Sinon , il aurait pu écrire et c'est plus simple , que :
Pour tout x dans IR , exp(x) > {x^k}/k!
ce qui résulte du DSE de exp(x) standart convergeant sur IR tout entier ; puis prendre x=k .

Re-bonjour
tout d'abord je vous remercie de m'avoir souhaité ca

et puis quoi je l'ai posté meme si c'est evident , car lorsque vous avez l'epreuve entre vos mains ca semble "barbare" a premiere vue ...

Citation :

tu l'as pas passé?

Je suis encore sup (^-^)

Bon courage et surtout bonne chance !

x>=0 =>e^x>=1
=>int_{[0,t_1]*...*[0,t_(n-1)]*[0,x]}e^tdtdt_1...dt_(n-1)>x^n/n!
=>e^x>=sum{i=1}^{n}x^i/i!
.......