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 Exo pas mal!!

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Mr.Abdel
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MessageSujet: Exo pas mal!!   Lun 27 Avr 2009, 13:03

Soit a £ N* .

Prouvez que pour tout n de N* et x de [0,+oo[:

na + (x^(n+1))/a^n >= (n+1)x .
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humoussama
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MessageSujet: Re: Exo pas mal!!   Lun 27 Avr 2009, 18:38

Wink Essaie d'écrire en Latex s'il vous plaît !
Si tu voulais dire cela merci de le confirmer !
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Mr.Abdel
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MessageSujet: Re: Exo pas mal!!   Lun 27 Avr 2009, 18:58

Bah , tu savais , j'ai pas le temps ! l'essentiel c 'est que t'as pu comprendre l'exo!! en tous cas , merci de l'avoir mentionné!
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mouad01
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MessageSujet: Re: Exo pas mal!!   Lun 27 Avr 2009, 19:33

f(x) = na + ((x^n +1)/a^n) - (n+1)x
calculé la dérivé et trouver kel est croissante en sachant f(0) >= 0
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mouad01
Maître


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MessageSujet: Re: Exo pas mal!!   Lun 27 Avr 2009, 19:34

ah et coment ecrire en latex svp
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: Exo pas mal!!   Mar 28 Avr 2009, 21:56

salam
pour a = 1
c'est facilement démonstrable

pour a >= 2
on a pour tous x £ [0;+oo]
x^2 - ax >= ax + a^2
x(x-a) >= a(x+a)
(x-a)/a >= (x+a)/x
x/a - 1 >= 1 + a/x
n'oublir pas ce résultat

d'après Bernouli :
(1+x/a-1)^n >= 1 + n(x/a-1)
(x/a)^n >= 1 + n(x/a - 1 ) >= 1 + n (1+a/x)
dernier résultat
(x/a)^n >= 1 + n + an/x
on multiplie l'énigalité fois x et on trouvera le résultat
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: Exo pas mal!!   Mar 28 Avr 2009, 22:09

pour le cas a = 1

on doit montrer :
n + x^n+1 >= (n+1)x

par Bernouli aussi :

(1+x-1)^n+1 >= (n+1)(x-1) +1
x^n+1 >= (n+1)x -n - 1 + 1
n + x^n+1 >= (n+1)x
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Ayem
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MessageSujet: Re: Exo pas mal!!   Mar 28 Avr 2009, 22:38

par recurrence je crois ca va aussi marcher ...
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houssa
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MessageSujet: Re: Exo pas mal!!   Mar 28 Avr 2009, 22:44

salam

réponse de mouad01 çà marche à merveille

................................................
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Mr.Abdel
Habitué


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MessageSujet: Re: Exo pas mal!!   Mer 29 Avr 2009, 23:27

Oui , oui ! la réponse de mouad01 est la meilleure!!!
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Mr.Abdel
Habitué


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MessageSujet: Re: Exo pas mal!!   Jeu 30 Avr 2009, 00:00

Salut!!!
Voilà ma réponse compléte:

On considère f(x) = na + ((x^n +1)/a^n) - (n+1)x
soit n £ N,on a f est dérivable sur R et:

pout tout x £ [0;+oo[ f'(x)=(n+1)x^n/a^n - (n+1)
=(n+1/a^n)(x^n-a^n)
a>0 et n £ N*, donc:f est strictement croissante sur [a,+oo[ et décroissante sur [a,0] .par suite f admet une valeur minimale absolue sur [0,+oo[ en a .
De meme f(a)=0 .alors : pour tout x>=0 f(x)>=0

enfin: pour tout x>=0 na + ((x^n +1)/a^n) >=(n+1)x
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MessageSujet: Re: Exo pas mal!!   Aujourd'hui à 18:07

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Exo pas mal!!
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