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 Inégalité avec determinant

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AuteurMessage
Weierstrass
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Weierstrass


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MessageSujet: Inégalité avec determinant   Inégalité avec determinant EmptyMar 28 Avr 2009, 20:07

Soient A une matrice symetrique reelle positive et B symetrique reelle telle que A-B est symetrique positive

Montrer que detA>=detB


Dernière édition par Weierstrass le Mar 28 Avr 2009, 20:18, édité 3 fois
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mathema
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MessageSujet: Re: Inégalité avec determinant   Inégalité avec determinant EmptyMar 28 Avr 2009, 20:12

Weierstrass a écrit:
Soient A et B deux matrices de Mn(IR) symetriques et positives

Montrer que detA>=detB
salut mahdi est ce que tu as oublié un conditionement sur A et B??

et merci
__________________________
lahoucine
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Weierstrass
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MessageSujet: Re: Inégalité avec determinant   Inégalité avec determinant EmptyMar 28 Avr 2009, 20:17

Voila ouais maintenant c'est règlé , merci de l'avoir signalé
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mathema
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MessageSujet: Re: Inégalité avec determinant   Inégalité avec determinant EmptyMer 29 Avr 2009, 01:20

Weierstrass a écrit:
Soient A une matrice symetrique reelle positive et B symetrique reelle telle que A-B est symetrique positive

Montrer que detA>=detB

Salut Mahdi Wink !!!

je propose cette idée:

A£Sn+(IR) et B£Sn(IR) et (A-B)£Sn+(IR):

donc B est une matrice diagonalisable (dans une base orthonormée donnée).
A diagonalisable aussi et les valeurs propres sont tous positives.
de même pour (A-B)
alors soient {a_i}_1=<i=<n et {b_i}_1=<i=<n des valeurs propres de A et B respectivement.
donc:
(A-B)£Sn+(IR) ===> a_k-b_k >=0 ====> a_k >= b_k (1).

donc det(A)=prod{k=1-->n}(a_k) et det(B)=prod{k=1-->n}(b_k)

et d'aprés (1) on aura:

det(A) >= det(B)
C.Q.F.D
_______________________________
lahoucine
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Weierstrass
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Weierstrass


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MessageSujet: Re: Inégalité avec determinant   Inégalité avec determinant EmptyMer 29 Avr 2009, 07:58

mathema a écrit:
Weierstrass a écrit:
Soient A une matrice symetrique reelle positive et B symetrique reelle telle que A-B est symetrique positive

Montrer que detA>=detB

Salut Mahdi Wink !!!

je propose cette idée:

A£Sn+(IR) et B£Sn(IR) et (A-B)£Sn+(IR):

donc B est une matrice diagonalisable (dans une base orthonormée donnée).
A diagonalisable aussi et les valeurs propres sont tous positives.
de même pour (A-B)
alors soient {a_i}_1=<i=<n et {b_i}_1=<i=<n des valeurs propres de A et B respectivement.
donc:
(A-B)£Sn+(IR) ===> a_k-b_k >=0 ====> a_k >= b_k (1).

donc det(A)=prod{k=1-->n}(a_k) et det(B)=prod{k=1-->n}(b_k)

et d'aprés (1) on aura:

det(A) >= det(B)

C.Q.F.D
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lahoucine

Bonjour

c'est une bonne idée de proceder ainsi ( d'ailleurs on a qu'a penser a l'orthogonalisation dans une bon) mais tu as etre omis que les bk ne sont pas forcement tous positifs , donc la multiplication est illicite

amicalement
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mathema
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MessageSujet: Re: Inégalité avec determinant   Inégalité avec determinant EmptyMer 29 Avr 2009, 18:55

salut mahdi Wink !!

oui tu as totalement raison!! mais je ne sais pas est ce que tu as savais la relation d'ordre dans Sn(IR)
c-a-d: A >= B <===> A-B £Sn+(IR).

avant ma reponse je veux ta questionner est ce que tu es sûr que A£Sn+(IR) ou bien A£Sn++(IR)??

et merci
_________________________________________
lahoucine
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Weierstrass
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MessageSujet: Re: Inégalité avec determinant   Inégalité avec determinant EmptyMer 29 Avr 2009, 19:21

Bonsoir

Oui je connais cette relation d'ordre, et je viens de revoir l'enoncé de l'exercice c'est bien "A symetrique reelle positive"
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wagshall
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MessageSujet: Re: Inégalité avec determinant   Inégalité avec determinant EmptyMer 29 Avr 2009, 21:24

Weierstrass a écrit:
Soient A une matrice symetrique reelle positive et B symetrique reelle telle que A-B est symetrique positive

Montrer que detA>=detB

Bonsoir mahdi

Est ce que cela est vrai SI:
Inégalité avec determinant 06739258a07dcca2203a9587439a297f27fb358d et Inégalité avec determinant E083abae205b6a4fd95e541bf12f8eb7ca388648.?????
et @+
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Conan
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MessageSujet: Re: Inégalité avec determinant   Inégalité avec determinant EmptyMer 29 Avr 2009, 22:08

wagshall a écrit:
Weierstrass a écrit:
Soient A une matrice symetrique reelle positive et B symetrique reelle telle que A-B est symetrique positive

Montrer que detA>=detB

Bonsoir mahdi

Est ce que cela est vrai SI:
Inégalité avec determinant 06739258a07dcca2203a9587439a297f27fb358d et Inégalité avec determinant E083abae205b6a4fd95e541bf12f8eb7ca388648.?????
et @+
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comment ta fais pour savoir que l'énnoncé est faut Smile ?
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mathema
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MessageSujet: Re: Inégalité avec determinant   Inégalité avec determinant EmptyJeu 30 Avr 2009, 01:22

salut mahdi Wink

salut à tous Wink !!

j'ai une demonstration de votre exo dans les cas où :
(A-B)£Sn+(IR) et:

->A;B£Sn+(IR) ou bien
-> si A£Sn++(IR) et B£Sn(IR)

et la premiere est banale et on peut accepter ma premiere idée.
et la deuxieme aussi un peut facile

et merci
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lahoucine
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MessageSujet: Re: Inégalité avec determinant   Inégalité avec determinant Empty

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