exo nombres premier

1°/ Soit n £ N*. Montrer que l'un des trois nombres n, n + 2, n + 4, est un multiple de 3.
2°/ En déduire l'ensemble des entiers naturels p, tels que les trois nombres p, p + 2, p + 4, soient des nombres premiers.
3°/ Déterminer l'ensemble des entiers naturels premiers qui sont à la fois somme et différence de deux entiers naturels premiers.

1 ) n =3k ....banal
n = 3k+1 ==> n+2 = 3 (k+1)
n= 3k + 2 ==> n+4 = 3 (k+2)
2 )
d'après 1 ) un des 3 nombres est premier multiple de 3 et car ils sont premiers il sera 3
alors
p= 3 donc p+2 = 5 et p+4=7
p+2 =3 donc p =1 impossible 1 £ P
p+4=3 donc p = -1 ...impossible

conclusion : p=3
3)
on pose
n= p1 + p2 = p1 -p2
(p1 + p2) + (p1 - p2 ) = 2n
2 p1 = 2n
n = p1
(p1+p2)-(p1 - p2) = 0
donc p2 = 0
ce qui est absurde avec p2 est premier
si mon résultat est correct l'exercice est mal posé
je souhaite qu'il pas

salam

tu distingues 3 cas:

1) n=3k -----> n+2 = 3k+2 ---------> n+4 =3(k+1) +1 = 3k'+1

2) n=3k+1 ---------> n+2= 3(k+1)=3k' ---------->n+4 = 3k'+2

3) n=3k+2 -----> n+2 = 3(k+1)+1 = 3k'+1 -----> n+4 =3(k'+1)=3k"

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donc dans tous les cas : n , ou n+2 , ou n+4 est multiple de 3
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pour avoir : p , p+2 , p+4 tous premiers

si p=3k , -------> p=3 --------------->p+2=5 ----------> p+4=7

si p=3k+1 ------------------> p+2=3(k+1) non premier

si p =3k+2 -------------------> p+4=3(k+2)non premier
--------------------
donc le seul cas possible : 2 , 5 , 7

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p premier = p' + p" ( tous deux premiers)

si p' et p" sont > 2 ========> impossible car p serait pair

donc p'=2 ( par exp) et p" > 2
-----------------
p = q'-q" (tous deux premiers)

si q' et q" sont > 2 ========> p=2 encore impossible car p" =0

donc q"=2 et q' > 2

------------------conclusion : q'-2=p=2+p"

q'=p+2

p"=p-2

=====> p-2 , 2 , p+2 tous premiers

ou encore (p-2) , (p-2) + 2 , (p-2) + 4 tous premiers

d'après 2) ce sont : 3 , 5 , 7

p-2=3-------> p=5 -----> p"=3 et q' = 7

--------
vérification : 5 = 2+3 = 7-2

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rectificatif

erreur de frappe avant la fin:

=====> p-2 , p (au lieu de 2) , p+2

.