Equation Differentielle CCP 2009 Maths I

Bonjour

je vous propose le 1er exercice de maths 1 de ccp qui s'est deroulé aujourd'hui

On considere (E) l'equation differentielle : xy'+y=2x/rac(1-x^4)

1-Resoudre E sur ]-1,0[ et ]0,1[
2-Deduire qu'elle admet une solution unique sur ]-1,1[


N.B: C'est encore frais on vient de le passer de midi a 16h

salut mahdi !!!

premierement ,j'espere que tu as passé ça bien , et bonne chance

pour l'equation differentielle:

xy'+y = (xy)' = 2x/rac(1-x^4)

donc on peut poser z(x) =xy(x) d'où z'(x) = 2x/rac(1-x^4).

donc z(x)=arcsin(x²)+cte

d'où d'une façons generale l'equation admet une solution unique qui est:

y(x)=arcsin(x²)/x . (car la premiere question consiste a evité la cte)

et merci

PS: j'ai depassé plusieurs details et plusieurs choses importants mais je crois que telle condition sera connue par les spé.....

__________________________________________________
lahoucine

Weierstrass a écrit:

Bonjour

je vous propose le 1er exercice de maths 1 de ccp qui s'est deroulé aujourd'hui

On considere (E) l'equation differentielle : xy'+y=2x/rac(1-x^4)

1-Resoudre E sur ]-1,0[ et ]0,1[
2-Deduire qu'elle admet une solution unique sur ]-1,1[


N.B: C'est encore frais on vient de le passer de midi a 16h

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Weierstrass & Lahoucine !!

Lahoucine a flashé sur l'astuce .....
Moi , j'aurais comme une machine , résolu ESSM {y'/y}= -{1/x}
qui s'intègre selon y(x)=C/|x|
La méthode de la Variation de la Constante .....
Puis :
Les solutions y(x)={C1/x} + {Arcsin(x^2)/x} sur ]-1 ;0[ et
y(x)= y(x)={C2/x} + {Arcsin(x^2)/x} sur ]0 ;1[
avec C1 et C2 constantes arbitraires .
Maintenant on obtient une solution globale sur ]-1 ;1[ par Recollement ; il y en a UNE SEULE c’est celle obtenue en choisissant C1=C2=0 de manière à éviter la SINGULARITE en ZERO .
C’est donc y(x)= Arcsin(x^2)/ x si x<>0 et y(0)=0 qui convient !!!!!
Et on peut affirmer que c’est la SEULE qui soit continue sur ]-1 ;1[.

Oeil_de_Lynx a écrit:

Weierstrass a écrit:

Bonjour

je vous propose le 1er exercice de maths 1 de ccp qui s'est deroulé aujourd'hui

On considere (E) l'equation differentielle : xy'+y=2x/rac(1-x^4)

1-Resoudre E sur ]-1,0[ et ]0,1[
2-Deduire qu'elle admet une solution unique sur ]-1,1[


N.B: C'est encore frais on vient de le passer de midi a 16h

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Weierstrass & Lahoucine !!

Lahoucine a flashé sur l'astuce .....
Moi , j'aurais comme un machine , résolu ESSM {y'/y}= -{1/x}
qui s'intègre selon y(x)=C/|x|
La méthode de la Variation de la Constante aurait donné :
C’=2x/rac(1-x^4) donc C(x)=Arcsin(x^2)
Puis :
Les solutions y(x)={C1/x}+{Arcsin(x^2)/x} sur ]-1 ;0[ et
y(x)= y(x)={C2/x}+{Arcsin(x^2)/x} sur ]0 ;1[
avec C1 et C2 constantes arbitraires .
Maintenant on obtient une solution globale sur ]-1 ;1[ par Recollement ; il y en a UNE SEULE c’est celle obtenue en choisissant C1=C2=0 de manière à éviter la SINGULARITE en ZERO .
C’est donc y(x)= Arcsin(x^2)/x si x<>0 et y(0)=0 qui convient !!!!!
Et on peut affirmer que c’est la SEULE qui soit continue sur ]-1 ;1[.

je crois qu'une solution particuliere sur ]-1,0[ serait plutot -arcsin(x²)/x:scratch:

lol je t'assure a khay mahdi ,moi aussi rawwanni dak le -

joystar1 a écrit:

lol je t'assure a khay mahdi ,moi aussi rawwanni dak le -

younes , 3la selama c'était simple je crois?Ben oui le - ca m'a troublé en fait !!

Weierstrass a écrit:

.... je crois qu'une solution particuliere sur ]-1,0[ serait plutot -arcsin(x²)/x:scratch:

OUI !! Tu as raison !! Merci .....
J'ai rectifié sur le Topic !!

donc la solution serait dans ce cas : x->arcsin(x²)/|x|

Weierstrass a écrit:

donc la solution serait dans ce cas : x->arcsin(x²)/|x|

OUI Weierstrass , tout à fait et c’est ainsi que c’est rectifié sur mon post ci-dessus !!!

Oeil_de_Lynx a écrit:

.....
BJR à Toutes et Tous !!
BJR Weierstrass & Lahoucine !!

Lahoucine a flashé sur l'astuce .....
Moi , j'aurais comme une machine , résolu ESSM {y'/y}= -{1/x}
qui s'intègre selon y(x)=C/|x|
La méthode de la Variation de la Constante .....
Puis :
Les solutions y(x)={C1/x} - {Arcsin(x^2)/x} sur ]-1 ;0[ et
y(x)= y(x)={C2/x} + {Arcsin(x^2)/x} sur ]0 ;1[
avec C1 et C2 constantes arbitraires .
Maintenant on obtient une solution globale sur ]-1 ;1[ par Recollement ; il y en a UNE SEULE c’est celle obtenue en choisissant C1=C2=0 de manière à éviter la SINGULARITE en ZERO .
C’est donc y(x)= Arcsin(x^2)/|x| si x<>0 et y(0)=0 qui convient !!!!!

Oeil_de_Lynx a écrit:

Weierstrass a écrit:

donc la solution serait dans ce cas : x->arcsin(x²)/|x|

OUI Weierstrass , tout à fait et c’est ainsi que c’est rectifié sur mon post ci-dessus !!!

Oeil_de_Lynx a écrit:

.....
BJR à Toutes et Tous !!
BJR Weierstrass & Lahoucine !!

Lahoucine a flashé sur l'astuce .....
Moi , j'aurais comme une machine , résolu ESSM {y'/y}= -{1/x}
qui s'intègre selon y(x)=C/|x|
La méthode de la Variation de la Constante .....
Puis :
Les solutions y(x)={C1/x} - {Arcsin(x^2)/x} sur ]-1 ;0[ et
y(x)= y(x)={C2/x} + {Arcsin(x^2)/x} sur ]0 ;1[
avec C1 et C2 constantes arbitraires .
Maintenant on obtient une solution globale sur ]-1 ;1[ par Recollement ; il y en a UNE SEULE c’est celle obtenue en choisissant C1=C2=0 de manière à éviter la SINGULARITE en ZERO .
C’est donc y(x)= Arcsin(x^2)/|x| si x<>0 et y(0)=0 qui convient !!!!!

cool , c'est de meme que reponse

salut à tous !!!

salut Mahdi !!!

salut Mr lhassane !!!

ben je suis pas d'accord avec vous!!!

en effet:
d'une part:

si y(x)=arcsin(x²)/|x| alors y est une fonction paire sur ]-1;1[ alors forcement y' sera impaire sur ]-1;1[ donc:

si on remplace x par -x dans l'equation differentielle on aura:

(-x)y'(-x)+y(-x) = -2x/rac(1-x^4) = xy'(x)+y(x) = 2x/rac(1-x^4) ce qui implique que x=0 ce qui est absurde!!!!
alors ne peut pas y être paire!!!!

d'une autre part:
si on considère que y(x)=arcsin(x²)/|x| donc y n'est pas derivable en x=0 d'où l'equation differentielle n'est pas valable sur ]-1;1[ par contre elle est valable sur ]-1;00;1[ .
[u]comme une autre remarque:

si on considere que y(x)=arcsin(x²)/|x| donc pr tt x£]-1;1[ y(x)>=0.

alors:
y'(x) <0 si -1<x<0
et y'(x) > 0 si 0<x<1

DONC retournons à l'equation differentielle:
soit -1<x<0 donc 2x/rac(1-x^4) < 0 d'où xy'(x) + y(x)<0

donc y(x) <-xy'(x) <0 ce qui est en effet absurde!!!

alors à mon avis!!!

y(x)=arcsin(x^2)/x pr tt x£]-1;1[ est la seule solution continue et derivable sur ]-1;1[.

Amicalement !!

PS: tres desolé mais ...... :-s

et merci
_______________________________________________
lahoucine

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Weierstrass !!

Je suis navré MAIS je me suis planté hier soir .... la fatigue
Parfois , il faut avoir la volonté d'éteindre le PC et d'aller dormir !!

En fait ma première proposition était la bonne !!

La solution générale de l'équa-diff est de la forme :
y(x)= {K/x} + {Arcsin(x^2)/x} avec K constante arbitraire
que ce soit sur I=]0;1[ ou J=]-1;0[
La constante K n'étant pas la même selon I ou J .
On obtient une solution globale sur ]-1;1[ par Recollement de deux solutions l'une sur I et l'autre sur J , on constate alors que pour éluder la SINGULARITE en ZERO il faut choisir des constantes K nulles de chaque côté et par suite la solution cherchée serait bien :

y(x)= {Arcsin(x^2)/x} si x<>0 et y(0)=0

Mes excuses encore !!

PS : Pour Lahoucine , tes arguments sont justes et ton honnêteté intellectuelle comme la mienne n'ont jamais été mises en doute !!
Merci pour tes éclaircissements .... Nous sommes là pour encourager DAVANTAGE Mahdi dans ses Concours .

Bonjour

mathema tu as tout a fait raison , c'est tres bien merci de l'avoir eclairé!!A ODL aussi tous mes remerciements

Weierstrass a écrit:

Bonjour

mathema tu as tout a fait raison , c'est tres bien merci de l'avoir eclairé!!A ODL aussi tous mes remerciements

Pas De quoi Mahdi , J'espere que ça ne t'influencera pas pour les autres concours et je t'espere une bonne Ecole et bonne chance

Oeil_de_Lynx a écrit:

Mes excuses encore !!

PS : Pour Lahoucine , tes arguments sont justes et ton honnêteté intellectuelle comme la mienne n'ont jamais été mises en doute !!
Merci pour tes éclaircissements .... Nous sommes là pour encourager DAVANTAGE Mahdi dans ses Concours

Pas de quoi Mr Lhassane et merci à toi aussi egalement !!!

et merci
______________________________________________
lahoucine

Bonsoir a tous
J'ai eu cette exercice se matin en cours proposé par mon prof de math , j'ai pas remarquer l'astuce ^^!mais même je l'ai résolu par la méthode classique (Ess + SP(par variation de la constante))

Que la chance soit de ton coté Mahdi !

Bonne continuation a tous.

stifler a écrit:

Bonsoir a tous
J'ai eu cette exercice se matin en cours proposé par mon prof de math , j'ai pas remarquer l'astuce ^^!mais même je l'ai résolu par la méthode classique (Ess + SP(par variation de la constante))

Que la chance soit de ton coté Mahdi !

Bonne continuation a tous.

Bonjour stifler

C'est en fait la démarche naturelle et classique a laquelle on pense lorsqu'on travaille sur une equa diff de ce type.

Merci a toi