Arithmétique

voici des exos de kholles d'hier sur l'arithmétique des entiers :
1-soit n>=2
mq si 24 divise n alors 24 divise S(n-1) où S(n-1)=somme des diviseurs de n-1

2-résoudre dans Z^3 l'equation :
x²+y²+z²=x²y²

Le premier n'est pas compliqué !

Le deuxième, il suffit de remarquer que si x;y;z est solution alors x/2, y/2 et z/2 l'est aussi, on réitérant, x/2^n ,y/2^n et z/2^n !

D'après la méthode de la descente infinie, il n'existe donc pas de solution mis à part x=y=z=0 !

Post ta solution, car je pense pas que tu as utilisé cette méthode aussi^^
a+

salam
pour l'exo2
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1er cas : si l'un des entiers est nul =====> les autres aussi

pour z=0 -----> x²+y²=x²y² si x et y non nuls , alors

x²(y²-1)=y² ====> y²-1 =a² ===> (y-a)(y+a)=1

=====> y-a=y+a=1 ou -1 ====>a=0 ===> y²=1 ====> x².0=1

absurde =====> l'un est nul (par exp x=0) ====> y=0 aussi.
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2e cas : x=0 ( ou y = 0)

=====> y²+z²=0 =====> y=z=0
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3e cas : les trois non nuls

remarque : x² = 0 ou 1 (mod 4) suivant la parité

a) les trois impairs

x²+y²+z²=x²y² ====> 3 = 1 (mod 4) impossible

b) x , y pairs , z impair ======> 0+0+1=0 (mod 4) impossible

c) x , y impairs , z pair ====> 1+1+0=1 (mod 4) impossible

d) x impair y , z pairs ====> 1+0+0 = 0 (mod 4) impossible

e) les trois pairs :

x = (2^n).x' , x' impair
y = (2^m).y'
z = (2^p).z'

===> supposons n le plus petit exposant , on simplifie au max

====> x'² + (y")² + (z")² = A²

on revient sur la parité et (mod 4) ====> égalité impossible.

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conclusion : (0,0,0) est l'unique solution.

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Hey mister houssa !

Je trouve que ta méthode est laborieuse !

Connais tu le principe de la descente infinie ?

Vous avez combien de temps en kholle pour résoudre ces exercices ?

le principe te conduit à une solution (0,0,0) dans IR^3

mais je vois pas la présence de Z^3.


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On peut résoudre ce problème dans N , car il y a le carré , et Z²€N !

Donc le principe de la descente infinie est valable dans N, pourquoi me parles tu de R ?

Voici l'énoncé de principe : Il n'existe pas de suite de nombre entiers infinie strictement décroissante.

Pour approfondissement voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_descente_infinie

slt mr evaristegalois,je suis d'accord avec toi,on meme le demontrer par absurde.soit A={u_n/n£N} on a A est une partie de N minoré donc elle admet un plus petit element m,or m£A donc il existe p tel que m=u_p et puisque u_p>u_(p+1) et u_(p+1)£A alors u_(p+1) est le plus petit element (absurde) d'ou le resultat

Effectivement !

Je n'ai pas utilisé la descente infinie ... j'ai montré comme houssa qu'on peut se limiter à x pair et y impair auquel cas on obtient que les seuls couples sont (0,0,0).
Pour evaristegalois on a 1 heure normalement ( généralement de 45 à 50 min ).
Pour evaristegalois encore : comment trouves tu que la premiere question n'est pas compliqué.
Je rappelle que tu n'as pas le droit d'utiliser un résultat préliminaire sur la fonction somme des diviseurs...

Hey callo !

Comment ça, pas le droit d'utiliser la forme de la somme de diviseurs ? Faut la démontrer avant ? o_O

Le cours d'arithmétique de spé ressemble à celui de terminale à part des trucs relatives au corps Z/pZ donc tu t'interdis d'utiliser à part ce que tu as dans le cours,
il faut donc la démontrer avant