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 Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes

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5 participants
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callo
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callo


Masculin Nombre de messages : 1481
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MessageSujet: Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes   Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes EmptySam 16 Mai 2009, 20:50

Trouver les solutions (d'inconnues A,B et C dans K[X]) de l'equation suivante
A^n +B^n+C^n=0 , n>=3
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Alaoui.Omar
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Alaoui.Omar


Masculin Nombre de messages : 1738
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Date d'inscription : 29/09/2006

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MessageSujet: Re: Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes   Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes EmptyDim 17 Mai 2009, 14:52

Salam alikom Hamza Smile ,
Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes Eq_pol10
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callo
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callo


Masculin Nombre de messages : 1481
Age : 33
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Date d'inscription : 03/03/2007

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MessageSujet: Re: Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes   Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes EmptyDim 17 Mai 2009, 16:31

Wa Alikom salam Omar ,
les étapes démonstration sont justes , sauf une toute petite étourderie quant à la conclusion.
La conclusion est que les polynômes sont de degré nul...tq a^n+b^n+c^n=0...exemple A=i B=i C=-2^1/3 * i
...
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hamzaaa
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hamzaaa


Masculin Nombre de messages : 744
Age : 37
Localisation : Montréal...
Date d'inscription : 15/11/2007

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MessageSujet: Re: Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes   Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes EmptyDim 17 Mai 2009, 18:12

Ce théorème de Mason est-il au programme?
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callo
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callo


Masculin Nombre de messages : 1481
Age : 33
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Date d'inscription : 03/03/2007

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MessageSujet: Re: Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes   Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes EmptyDim 17 Mai 2009, 19:11

Il n'est pas au programme,apparemment Omar l'a eu en Ds et Dm ;
Il y a une deuxième preuve du théorème de Liouville, une preuve directe.
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kalm
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kalm


Nombre de messages : 1101
Localisation : khiam 2
Date d'inscription : 26/05/2006

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MessageSujet: Re: Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes   Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes EmptyLun 18 Mai 2009, 01:15

je pense que l'exo est facile,j'ai trouvé une solution élémentaire on utilisant seulement la derivation,je vais l poster apres inchallah.mais pour l'utilisation d'un grand theoreme comme celui de mason franchement c'est pas favorable sur tt sans le demontrer .(amicalement)
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Alaoui.Omar
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Alaoui.Omar


Masculin Nombre de messages : 1738
Age : 33
Localisation : London
Date d'inscription : 29/09/2006

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MessageSujet: Re: Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes   Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes EmptyLun 18 Mai 2009, 01:41

kalm a écrit:
je pense que l'exo est facile,j'ai trouvé une solution élémentaire on utilisant seulement la derivation,je vais l poster apres inchallah.mais pour l'utilisation d'un grand theoreme comme celui de mason franchement c'est pas favorable sur tt sans le demontrer .(amicalement)

Salam alikom,
J'ai su que Hamza connaît ce théorème avant de rédiger ma solution c'est pour ça que je l'ai utilisé en attendant d'autres propositions..
Amicalement
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radouane_BNE
Modérateur
radouane_BNE


Masculin Nombre de messages : 1488
Localisation : Montréal
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MessageSujet: Re: Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes   Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes EmptyLun 18 Mai 2009, 12:44

autre solution sans utiliser le fameux théorème de MASON.

quitte à diviser par le pgcd de P,Q et R on suppose que pgcd(P,Q,R)=1.on remarque également que P,Q et R sont premiers entre ux deux à deux (pourquoi?).on se ramène donc à montrer que P,Q,R sont des polynomes constantes.
supposons que deg(P)=<deg(Q)=<deg(R).
Si P est une constante alors R^n+Q^n=produc(i=1...n)(R-n_k*Q) l'est aussi avec n_k les racines n-ioème de -1.il vient donc que R-n_k*Q sont ous constantes,ce qui montre en définitive que R et Q sont des Cstes.

mnt il reste à montrer que P est en fait constante.supposons par absurde que deg(P)>=1.

on dérive la relation (E) ==> (E') P^(n-1)*P'+R^(n-1)*R'+Q^(n-1)*Q=0.
en faisant P'*(E)-P*(E')==>Q^(n-1)*(Q'*P-Q*P')=R^(n-1)*(R*P'-R'*P)

en vertu du théorème de GAUSS il vient que R^(n-1) divise Q'*P-Q*P'.

Or Q'*P-Q*P' n'est pas nul (pourquoi?).
(n-1)deg(R)=<max(deg(Q'*P),deg(Q*P'))=deg(Q)+deg(P)+1
=<2deg(P)-1

ce qui est absurde car n>=3.
l'ensemble des solutions de E est donc les triplets (x*P,y*P,z*P) avec x,y et z des complexes vérifiant x^n+y^n+z^n=0.

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radouane.
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kalm
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kalm


Nombre de messages : 1101
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Date d'inscription : 26/05/2006

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MessageSujet: Re: Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes   Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes EmptyLun 18 Mai 2009, 14:03

ohhh,c'est presque la meme demarche que j'ai suivi,mais j'ai pas fait le meme debut de la solution,donc c'est pas la peine de poster la mienne,bien vu radouan .
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MessageSujet: Re: Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes   Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes Empty

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