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 Arithmetique : Epreuve 2004

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MouaDoS
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MessageSujet: Arithmetique : Epreuve 2004   Lun 18 Mai 2009, 03:29

Bjr tt Le Monde Smile ..



L'exo est Facile et De Niveau Premiere Bac , j'etait Impressionnee de le voir en Epreuve National de Bac ! a vos Claviers Smile

Ps : Vous pouvez considerer cet exo comme petite Recreation ^^ avant de continuer les preparations au Regio Razz
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http://www.ibn-yassmine.forumactif.com
kirum
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MessageSujet: Re: Arithmetique : Epreuve 2004   Lun 18 Mai 2009, 09:26

Salut

Peut être c'est facile,mais il ne faut pas négliger la rédaction et la rigueur,c'est ce qui devient le plus important dans ce genre d'épreuves..

A+
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oussama1305
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MessageSujet: Re: Arithmetique : Epreuve 2004   Lun 18 Mai 2009, 10:30

1-
n est impair <=> n = 2k+1 et k £ IN
<=> n² = 4k²+4k+1
<=> n²-1 = 4k(k+1)
<=> n²-1 = 8k' (k(k+1) = 2k' car c'est un nombre pair)
<=> n²-1 = 0[8]
<=> n² = 1[8]

2-
n est pair
<=> n= 2k
on a deux cas :
-> Soit k est pair : k = 2k'
<=> n² = (4k')²
<=> n² = 16k'²
<=> n² = 0[8]
-> Soit est est impair : k = 2k'+1
<=> n² = 4(2k'+1)²
Et d'après la première question :
<=> n²=4×1[8]
<=> n² = 4[8]

3-
On a a et b et c sont impairs donc :
a² = 1[8] et b² = 1[8] et c²= 1[8]
donc a²+b²+c² = 3 [8]
et d'après les deux premières questions un carré parfait a trois cas : soit n²=0[8] ou bien n²=1[8]ou bien n²=4[8]
conclusion : a²+b²+c² n'est pas un carré parfait.

4-
On utilise la solution des deux premiers + la remarque
5-
On utilise la 4
6-
On utilise ab + ac + bc = 3 [4]
Et on trouve les cas du carré parfait , on trouvera une contradiction

PX : Désolé pour les trois derniers, il faut que je bosse pour le régional, le temps c'est de l'or.
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: Arithmetique : Epreuve 2004   Lun 18 Mai 2009, 22:52

n est impaire ==> il existe un k / n=2k+1

k=0[2] ou k=1[2]

k=0[2] ==>2k=0[4] et 2k+2=0[2]

la multiplication

2k(2k+2) = 0 [8]
(n-1).(n+1) = 0[8]
n^2=1[8]


k=1[2]
2k=0[2] et 2k+2 = 0[4] (2k+2=2(k+1) et k+1=0[2] )

n^2 -1 =0[8]
n^2 = 1 [8]

conclusion
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: Arithmetique : Epreuve 2004   Lun 18 Mai 2009, 23:01

pour 2)

on suppose qu'il existe n : a^2 +b^2 +c^2 = n^2

a,b et c sont impaires
a^2 +b^2 +c^2 = (2k1 +1)^2 + (2k2 +1)^2 +(2k3 +1)^2

= 4(sigma k^2 + sigma k ) + 3

donc

n^2 = 3 [4]
(2k+1)^2 = 3 [4]

4(k^2 +k) = 2 [4]

contradiction

car 4(k^2 + k) = 0 [4]
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houssa
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MessageSujet: Re: Arithmetique : Epreuve 2004   Lun 18 Mai 2009, 23:14

salam

pour la suite
2) b-

a=2p+1 , b=2n+1 , c=2m+1

2ab= 8pn+4(p+n) +2
2bc= 8mn+4(m+n)+2
2ac= 8pm +4(p+m)+2
--------------------------
2(ab+bc+ac)=8(pn+mn+pm+p+n+m) +6

N = 2(ab+bc+ac) = 6 [8] =======> N # 0,1,4 [8]

===> N n'est pas un carré.

A= ab+bc+ac est impair

si A est un carré ===> A=1 [8]====> N= 2A = 2 [8] absurde.

====> A n'est pas un carré.


.
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alchemist-girl
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MessageSujet: Re: Arithmetique : Epreuve 2004   Sam 23 Mai 2009, 21:53

Je pense qu avc n impair on trouve q
n²=1[8]
n²=3[8]
n²=5[8]
n²=7[8]
donc n²=1[8]

aussi le cas pr n pair
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MessageSujet: Re: Arithmetique : Epreuve 2004   Aujourd'hui à 11:34

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