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 équation fonctionelle (2)

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radouane_BNE
khadija-daria
6 participants
AuteurMessage
khadija-daria
Féru



Nombre de messages : 68
Date d'inscription : 19/06/2007

équation fonctionelle (2) Empty
MessageSujet: équation fonctionelle (2)   équation fonctionelle (2) EmptyVen 29 Mai 2009, 20:01

trouver toutes les fonction f:=IR+*---->IR+* qui satisfont la condition suivante:
(x+y)f(yf(x))=x²f(f(x)+f(y))


lol! lol!
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radouane_BNE
Modérateur
radouane_BNE


Masculin Nombre de messages : 1488
Localisation : Montréal
Date d'inscription : 11/01/2006

équation fonctionelle (2) Empty
MessageSujet: Re: équation fonctionelle (2)   équation fonctionelle (2) EmptyDim 31 Mai 2009, 14:36

désolé si je répond à cet exo avant patrick lol!


je crois que telle fonctions n'existe pas.

montrons que telles fonctions vérifiant la condition sont injectives.

on échange x par y on aboutit à x²f(xf(x))=y²f(yf(y)).
pour y=1 ==>f(f(x))=x²f(f(1)x)
de mème pour y=1 ==>x²f(f(1)+f(x))=f(f(x))(x+1) et donc si on pose a=f(1) on obtient les deux relations:

f(f(x))=x²f(ax) (*) et f(a+f(x))=(x+1)f(ax) (**)

suppososns mnt que f(x)=f(y),par les deux relations x²f(ax)=y²f(ay) et (x+1)f(ax)=(y+1)f(ay).le rapport donne (x-y)(xy+x+y)=0 et donc x=y.

pour x>1 et y=x²-x on aura (x²-x)f(x)=f(x)+f(x²-x) et donc x²-x>1 pour tout x>1 absurde.
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elhor_abdelali
Expert grade1
elhor_abdelali


Masculin Nombre de messages : 488
Age : 61
Localisation : Maroc.
Date d'inscription : 24/01/2006

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MessageSujet: Re: équation fonctionelle (2)   équation fonctionelle (2) EmptyLun 01 Juin 2009, 03:01

Elle est belle cette solution ! Bravo ! farao
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elhor_abdelali
Expert grade1
elhor_abdelali


Masculin Nombre de messages : 488
Age : 61
Localisation : Maroc.
Date d'inscription : 24/01/2006

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MessageSujet: Re: équation fonctionelle (2)   équation fonctionelle (2) EmptyMar 02 Juin 2009, 01:29

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http://www.ilemaths.net/forum_superieur-4.php
jiji**
Débutant



Féminin Nombre de messages : 3
Age : 30
Date d'inscription : 02/06/2009

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MessageSujet: Re: équation fonctionelle (2)   équation fonctionelle (2) EmptyMar 02 Juin 2009, 21:17

**a
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Mehdi.O
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 815
Age : 28
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 23/07/2010

équation fonctionelle (2) Empty
MessageSujet: Re: équation fonctionelle (2)   équation fonctionelle (2) EmptyVen 02 Sep 2011, 17:03

Ma Solution :
Soit f une solution éventuelle à l'EF :
P(x,y) : (x+y)f(yf(x)) =x²(f(f(x)) +f(y))
P(x,1)(x+1)f(f(x))=x²(f(f(x))+f(1)) alors f est injective.
P(1,1) f(f(1))=f(1) =>f(1)=1
P(1,x)(x+1)f(x)=f(x)+1=> f(x)=1/x pour tout x £ IR+*.
Mais réciproquement cette fonction ne satisfait pas l'EF.
Conclusion : Il n'y a pas de solution à l'EF.
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yasserito
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 615
Age : 29
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009

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MessageSujet: Re: équation fonctionelle (2)   équation fonctionelle (2) EmptySam 08 Oct 2011, 22:24

Autre solution:
Soit f une solution eventuelle a l'EF :
P(x,1):(x+1)f(f(x))=x²f(f(x)+f(1))
f(x)=f(y)=> x²/(x+1)=y²/(y+1)=>(x-y)(x+y+xy)=0=>x=y (=> f est injective)
p(1/2,1/2):f((1/2)*f(1/2))=f(2f(1/2))=>f(1/2)=0 (impossible)
Alors il n'y a pas de solution a cette E.F
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MessageSujet: Re: équation fonctionelle (2)   équation fonctionelle (2) Empty

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