exo

montrez que chaque nombre n entier naturelle est
n(n^4-1) est puet étre divisé apr 5
merci et à très bientot

jalila a écrit:

montrez que chaque nombre n entier naturelle est
n(n^4-1) est puet étre divisé apr 5
merci et à très bientot

simple recurrence

jalila a écrit:

montrez que chaque nombre n entier naturelle est
n(n^4-1) est puet étre divisé apr 5
merci et à très bientot

Récurence:
Sn=n(n^4 -1)
S0=0/5=0
Supposons que c juste pour n: n(n^4 -)=5k
Et démontrons que c jute pour n+1 (n+1)[(n+1)^4 -1]=5T

Sn+1= (n+1)[(n+1)^4 -1]
Sn+1= (n+1)^5 -(n+1)
Sn+1= n^5 -n+n+4n+5n^4 +10n^3 +10n²
Sn+1= n^5 -n +5n +5n^4 +10n^3 +10n²
Sn+1= n(n^4 -1) + 5n +5n^4 +10n^3 +10n²
Sn+1= 5k + 5n +5n^4 +10n^3 +10n²
Sn+1= 5(k+n+n^4 +2n^3 +2n²)
T=k+n+n^4+2n^3+2n²
Sn+1= 5T
Donce c juste pour n+1 et ainsi que c juste pour n

y'a une autre solution que les troncs commun ne comprendrons pas mais je vais la donner kan meme :

n(n^4-1) = n(n^3 + n^2 + n + 1)(n - 1) = (n - 1)(n^4 + n^3 + n^2 + n).

on sait que Z/5Z* est un groupe, puisque 5 est premier dont tous les element sont des generateurs.

donc {n^4[5], n^3[5], n^2[5], n[5]} = {1,2,3,4}.

alors n(n^4-1) = 10(n-1) [5] = 0 [5].

C/C : n(n^4-1) est divisible par 5 pour tout entier n.

voir
https://mathsmaroc.jeun.fr/viewtopic.forum?t=1946&highlight=

samir a écrit:

voir
https://mathsmaroc.jeun.fr/viewtopic.forum?t=1946&highlight=

bravo ,elle est trop dur votre méthode, c'est avec difficulté que j'ai pu comprendre

jalila a écrit:

montrez que chaque nombre n entier naturelle est
n(n^4-1) est puet étre divisé apr 5
merci et à très bientot

a=n(n^2+1)(n+1)(n-1)
=n(n-2)(n+2)+5)(n+1)(n-1)
5n(n+1)(n-1)+n(n-2)(n+2)(n+1)(n-1)
=5N+5N'

salut tout le monde:
n élément de IN on a :
n= 0 , 1 ,2 , -1 ou -2 mod(5) division euclidienne de n par 5 le reste est un élélment de {0,1,2,3,4} )
donc n^5= 0 ,1 , 2 , -1 ,-2 mod(5)
alors : n^5 - n = o mod(5) ie que: 5/ n^5 - n.