abdelbaki.attioui Administrateur
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| Sujet: Problème de juin-juillet 2009 Dim 31 Mai 2009, 13:47 | |
| Soit (E,||.||) un espace de Banach. On dira qu'une application f de E dans E est une contraction de E lorsque il existe k €]0,1[ tel que pour tout x,y de E, on a : ||f(x)-f(y)|| =<k||x-y|| 1) Théorème du point fixe: Montrer que toute contraction admet un unique point fixe.2) Exemple : On pose, pour (x,y)€IR², ||(x,y)||1=|x|+|y| et ||(x,y)||00= Max(|x|,|y|). soit f : IR² --> IR² définie par : f(x,y)=((1/4)sin(x+y) , 1+(2/3)arctan(x-y)) a) Montrer que f est une contraction de (IR²,||.|| 1). En déduire que f admet un unique point fixe. b) Démontrer que f n'est pas une contraction de (IR²,||.|| 00). 3) "Réciproque" du théorème du point fixe : Soit f: E ---> E continue admettant un unique point fixe. f est-elle une contraction de (E,n) pour une norme n équivalente à ||.||?
Dernière édition par abdelbaki.attioui le Dim 28 Juin 2009, 15:29, édité 1 fois | |
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abdelbaki.attioui Administrateur
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| Sujet: Re: Problème de juin-juillet 2009 Dim 28 Juin 2009, 15:29 | |
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