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 << GRanD Jeu D'été 2009 >>

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maganiste
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 16:06

ok
restons un peu pres du ddenombrement :d:d

en utilisant (1+x)^n.(1+x)^p = (1+x)^n+p demontrez que :

SIGMA( k=0 ----> n)(C(k parmi n )²) = C(n parmi 2n)
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maganiste
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 16:07

N.B : il y'a plusieurs methodes pr demontrer cette formule mais le but de lexo est d'utiliser (1+x)^n.(1+x)^p = (1+x)^n+p
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 17:13

Je participe.
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miss-Design
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 17:19

Salut ,
on a : (1+x)^n * (1+x)^n=[Sigma (k=0-->n) kCn x^k]²
le facteur du terme x^n après simplification est:
SIGMA( k=0 --> n) kCn* (n-k)Cn
qui vaut SIGMA( k=0 ----> n)(kCn²)
d'autre part : (1+x)^n * (1+x)^n=(1+x)^2n
d'où on trouve simplement que le facteur du terme x^n est nC2n
alors: SIGMA( k=0 ----> n)(C(k parmi n )²) = C(n parmi 2n)
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oussama1305
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 17:25

Allez poste un autre exo.
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 17:34

J'ai une méthode trés élégante dans un bref moment je la posterai


Dernière édition par Moncefelmoumen le Lun 15 Juin 2009, 17:39, édité 1 fois
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houssa
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 17:34

salam

mes excuses pour tout le monde

car je fais la queue à la maison pour attendre mon tour

mes deux fils ne me laissent pas suffisament de temps pour vous rejoindre .

c'est pas grave ; l'essentiel c'est de vous suivre soit de près soit de loin.


A VOUS .......

............
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miss-Design
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 17:40

soit f la fonction définie par
f:[1,+oo[-->[√2,+00[
x-->√(x+1)+√(x-1)
M.q f est bijective
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oussama1305
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 17:47

Alors démontrons que quelque soit y £ [1,+oo[ il existe un unique x £ [√2,+00[ tel que f(x) = y:
donc f est bijective et : f-1(x)=(x²-2/2x)²+1
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 17:55

on pose

V(x+1) +V(x-1) = y

don c

2x + 2V(x^2-1) = y^2

y^2-2x = 2V(x^2-1)
au carré une aut' fois

4x^2 - 4xy^2 + y^4 = 4 (x^2 - 1)
alors :

-y^4 - 4xy^2 + = 4

x = (4 + y^4)/ y^2
et par l'encadrement de y et montra que x>1
donc pour tous y > V2

il esiste 1 seul x >1

conclusion f est bijective


Dernière édition par {}{}=l'infini le Lun 15 Juin 2009, 18:34, édité 1 fois
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oussama1305
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 17:57

{}{}=l'infini a écrit:
on pose

V(x+1) +V(x-1) = y

don c

2x + 2V(x^2-1) = y^2

2x - y^2 = 2V(x^2-1)
au carré une aut' fois

4x^2 - 4xy^2 + y^4 = 4 (x^2 - 1)
alors :

y^4 - 4xy^2 + = -4

x = -(4 + y^4)/ y^2
et par l'encadrement de y et montra que x>1
donc pour tous y > V2

il esiste 1 seul x >1

conclusion f est bijective
Very Happy Very Happy
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houssa
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 18:02

salam

pour la bijection 2 façons

1) définition
2) méthode utilisée souvent en terminale
......................
pour la 1) l'injection et la surjection

ou bien : deux en un

pour tout y >= V(2) , il existe x unique >= 1 tel que : f(x)=y

..........................................

par définition : si y = f(x) admet une solution x alors x >= 1

or V(x+1) + V(x-1) = y <===> 2x +2V(x²-1) = y²

<==> 4(x²-1) = (y²-2x)² <===> 4x²-4= y^4 - 4xy² + 4x²

<===> x= (4 + y^4) / 4y² = 1/y² + y²/4

donc : l'unicité de x est garantie pour tout y fixé >= V(2).

............................................................
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 18:05




Identité de Vandermonde :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9_de_Vandermonde


Dernière édition par Moncefelmoumen le Mar 16 Juin 2009, 13:16, édité 1 fois
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oussama1305
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 18:09

Moncefelmoumen a écrit:

Un peu de retard, ça va vite chez nous Very Happy
J'attends une confirmation de ma réponse.
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Figo
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 18:20

Solution correcte.A toi Oussama !
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houssa
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 18:25

salam

désolé Figo

la 1ère ligne de oussama 1305 , n'est pas correcte

ensuite il a juste montre que x est unique


....................................................
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oussama1305
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 18:27

Ah bon, pourquoi ma première ligne est fausse?


Dernière édition par oussama1305 le Lun 15 Juin 2009, 18:28, édité 1 fois
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 18:28

Et ma soluce Mr houssa ?
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miss-Design
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 18:35

à vrai dire pour Oussama: on doit travailler avec des équivalences sinon il faut 2 implications , mm chose pour l'infini
->c'est ce que je pense
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oussama1305
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 18:42

Désolé

Toutes les équivalences marchent puisqu'on a des bornes à la fonction.
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 18:43

et après cela tu dois signer que x>1 , oussama


Dernière édition par {}{}=l'infini le Lun 15 Juin 2009, 18:46, édité 1 fois
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MouaDoS
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 18:46

{}{}l'inifini , Je pense que c'est evident , puisque y ne s'annulle Jamais ! Smile


Donc a Toi Oussama ! Smile
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 18:47

MouaDoS a écrit:
{}{}l'inifini , Je pense que c'est evident , puisque y ne s'annulle Jamais ! Smile


Donc a Toi Oussama ! Smile

oui c évident mais nécessaire
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houssa
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 18:48

la correction de la 1ère ligne : inverser les intervalles.

ensuite remarquer bien que x = [(y²-2)/2y]² + 1 est acceptable.

............................
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oussama1305
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 15 Juin 2009, 18:49

Puisque y > V2 donc y²-2>0 et 2y >0 donc (y²-2/2y)²>0
Conclusion x>1
Une super facile, jouée sur la vitesse:
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Aujourd'hui à 12:14

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