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 << GRanD Jeu D'été 2009 >>

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botmane
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Jeu 16 Juil 2009, 12:41

bjr migao,
je crois que ton raisonnement est faux,
car si tu as pris le cas de ad=bc ==> d=1/a*bc...
moi je prends le cas de bc=ka pour que d soit de IN*,
ou bien, a=bc*1/d et essayes de prouver la meme chose (d=1)
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marouan777
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Jeu 16 Juil 2009, 18:27

la démonstration de Mr Migao est faux (IN=IN*IN pas necessaire, a peux etre un deviseur de b ou c ou bc).
bon voila ce que j'ai trouve, mais je ne suis pas sur.
a+d=2^k ==>a+bc/a=2^k ==>a(1+bc/a²)=2^k
==> 2^k =2*2*2*2.... on ne px pas avoir impair *pair=2^k sauf 1*2^k donc a=1.
en suivant les memes etapes on peux demontrer que a=b=c=d=1 (je pense qu'il ya un manque de donné a<=b<=c<=d pas a<b<c<d)
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houssa
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Ven 17 Juil 2009, 00:33

remarque :le pb admet une solution simple minimale

a=1 , b=3 , c=5 , d=15

a+d = 2^4
b+c = 2^3

................................donc k >= 4 et m >= 3
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migao
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Ven 17 Juil 2009, 11:40

oui vous avez raison ma demonstartion est fausse!je vais essayer avec une autre methode!
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migao
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Ven 17 Juil 2009, 11:47

quand la solution sera postée?
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houssa
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Sam 18 Juil 2009, 00:55

salam

j'ai posté cet exo parceque j'ai bloqué

voilà mon essai: (si quelqu'un veut poursuivre...)

soit A =pgcd(a,b) =====> a=A.a' et b=A.b'

a' et b' sont donc premiers entre eux

or ad = bc ===> Aa'd = Ab'c ===> a'd = b'c

Gauss ====> a' divise c ===> c=a'.c'

===> a'd = b'a'c' ===> d = b'c'

donc c' = pgcd(c,d)

Aa' + b'c' =2^k

Ab' + a'c' = 2^m

A(a'-b') -c'(a'-b') = 2^k - 2^m

(a'-b')(A-c') = 2^k - 2^m

or a<b<c<d ====> A < c' et a' < b' =====> 2^k - 2^m > 0

=====> k > m

===> a+d > b+c

ensuite ?????????????????
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botmane
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Dim 19 Juil 2009, 21:20

slt les amis,
je crois que le jeu d'été ne doit pas se bloquer sur un exo,
si on arrive pas a le résoudre maintenant, ce sera pour après(peux être sur un autre message posté)
je pense que Mr houssa doit proposer un autre exo pour pouvoir continuer
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houssa
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Dim 19 Juil 2009, 23:36

sans problème :

exo:

ABC est un triangle : AB = n (entier) ; AC = n+1 ; BC = n+2

L'un des angles est double d'un autre.

trouver les valeurs possibles de n

...............................................
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Boomer
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 20 Juil 2009, 18:03

salut
on nome:
A:l'angle BAC
B:l'angle ABC
C:l'angle ACB
avec Al-kashi on trouve
cosA=(n-3)/2n
cosB=(n²+3)/2n(n+2)
cosC=(n+5)/2(n+2)
on va etudier les cas ou A=2B;A=2C;B=2A;B=2C;C=2A;C=2B
juste pour vous montrer comment j'ai procédé car c'est trop long
.on prend le cas ou B=2C
cos2C=2cos²C-1
cosC=V((cos2C+1)/2)
donc cos²C=(cosB+1)/2
on resoud l'equation (n+5)²/4(n+2)²=(3n²+4n+3)/4n(n+2)
on arrive a n^3-7n+3=0
soit n(n²-7)=-3
et aucun entier ne verifie ca
donc on ne peut pas avoir B=2C
on refait la meme chose avec les autres angles on trouvera que seul C=2A
peut etre vrai avec n=1 solution de l'equation
j'espere avoir été clair et sauf erreur biensur
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Lun 20 Juil 2009, 21:08

je ne pense pas que ce soit correct


pour diminuer les cas penser à la loi des sinus.....

...............................
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Boomer
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mar 21 Juil 2009, 13:32

bonjour
mr houssa,j'ai travaillé avec la loi des sinus et j'ai trouvé le meme résultat n=1
est ce que n devrait avoir d'autres valeurs??
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botmane
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mar 21 Juil 2009, 14:36

voila ma demonstration:(je ne vais traiter qu'un cas)
c=x b=2x a=pi-3x
on a : sina/(n+1)=sinc/n=sinb/(n+2)=sin3x-sinx
alors: sin2x=(n+2)(sin3x-sinx)
alors: 4(n+2)cos²x-cosx-2(n+2)=0
delta=1+32(n+2)²
cosx=... ou cosx=...
avec -1<cosx<1 , on résout l'inégalité(avec l'intersection de l'intervales avec IR+*)

..................
les autres cas sont identiques !!
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houssa
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mar 21 Juil 2009, 19:47

salam

1) loi des sinus

====> sinA /(n+2) = sinB /(n+1) = sinC /n

conséquence: A > B > C

donc 3cas possibles : A = 2B , A = 2C , B = 2C

2) EL KASHI

a) A = 2B =====> 2sinB.cosB)/(n+2) = sinB/(n+1)

on écarte B=0 ====> 2cosB = (n+2)/(n+1)

El Kashi ===> AC²= AB²+BC²-2.AC.BC.cosB

===> ........ ====> n² - n -3 = 0 (solutions non entières)

b) A = 2C =====> même idée ====> n² -3n -4 = 0

n= -1 non valable et n = 4 valable

c) B = 2C =====> même idée =====> 2n²-2=0

n= -1 non valable et n= 1 ====> BC=AB+AC triangle plat

......................Conclusion : n= 4 est l'unique solution


.


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houssa
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mar 21 Juil 2009, 20:06

S'il n'y a pas de remarque ou objection.....

alors voici un autre exo:

Trouver un entier N = abc (écriture décimale) tel que N = 11.(a²+b²+c²)

....................................................................................
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mar 21 Juil 2009, 21:19

N est un multiple de 11 donc b=a+c
100a+10b+c=11(a²+b²+c²)
99a+11b=11(a²+b²+c²)
9a+b=a²+b²+c²
a(a-9)+b(b-1)+c²=0
on prend a=5 b=5 c=0
550=11(5²+5²+0²)
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mar 21 Juil 2009, 21:38

Boomer a écrit:
N est un multiple de 11 donc b=a+c
100a+10b+c=11(a²+b²+c²)
99a+11b=11(a²+b²+c²)
9a+b=a²+b²+c²
a(a-9)+b(b-1)+c²=0
on prend a=5 b=5 c=0
550=11(5²+5²+0²)

b=a+c ou "b+11=a+c" , qui donne une autre solution :

803=11(8²+0²+3²) Smile
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mar 21 Juil 2009, 21:48

ah ok ca je ne savais pas Smile
mais ma réponse est juste car on doit donner juste un nombre
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mar 21 Juil 2009, 22:26

juste une petite idée

a > 0

b=a+c =====> b >= a

9a+b = a²+b²+c²

9a+b= 2a²+2b²-2ab ====> a+b pair

..............................................................

1) a+b=2 =====> impossible
2) a+b=4 =====> impossible
3) a+b=6 =====> impossible
4) a+b=8 =====> impossible
5) a+b=10 etc.....

..............................

BOOMER à toi de faire BOOOUUUUMMMM (un exo)!!!!!!!

.
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mar 21 Juil 2009, 22:43

ok un peu de limite
soit
calculez en fonction de n

Al moufid 2em SM
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mar 21 Juil 2009, 23:00

un peu de calcul et on factorise par (x-1) en utilisant le fait que 1+2+...+n = n(n+1)/2 ce qui donne que la limite vaut -(n+1)/2.
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mar 21 Juil 2009, 23:01

n=1+1+1+....+1 n fois
et
(2-x)^n-1 = -(x-1)(..............) .. puis le reste est du calcul
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mar 21 Juil 2009, 23:14

c'est pas loin encore L'Hôpital

f(x) = x + x² + ......+x^n

g(x) = (2-x)^n

lim [f(x) - f(1)] / [g(x) - g(1)] = f'(1) / g'(1) = -(n+1)/2

......................................................
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Mer 22 Juil 2009, 00:26

ok figo à toi
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Jeu 23 Juil 2009, 10:35

ou est le nouveau exo?
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Boomer
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Jeu 23 Juil 2009, 15:20

bon puisque figo n'est pas la vous pouvez poster mr houssa ou bien mouados bounce
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MessageSujet: Re: << GRanD Jeu D'été 2009 >>   Aujourd'hui à 01:54

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