Forum des amateurs de maths
Vous souhaitez réagir à ce message ? Créez un compte en quelques clics ou connectez-vous pour continuer.


Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  RechercherRechercher  Dernières imagesDernières images  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  
Le Deal du moment : -29%
PC portable Gamer ERAZER DEPUTY P60 – ...
Voir le deal
999.99 €

 

 Logarithmes et Rationnels

Aller en bas 
2 participants
AuteurMessage
houssa
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 1693
Age : 68
Date d'inscription : 17/11/2008

Logarithmes  et Rationnels Empty
MessageSujet: Logarithmes et Rationnels   Logarithmes  et Rationnels EmptyMer 24 Juin 2009, 20:56

exo:

1) ln(2) / ln(3) est-il rationnel ?
2) A quelle condition sur les entiers p et q

ln(p) / ln(q) est-il rationnel ?

...................................................
Revenir en haut Aller en bas
n.naoufal
Expert sup
n.naoufal


Masculin Nombre de messages : 595
Age : 33
Localisation : France.
Date d'inscription : 05/11/2008

Logarithmes  et Rationnels Empty
MessageSujet: Re: Logarithmes et Rationnels   Logarithmes  et Rationnels EmptyMer 24 Juin 2009, 22:15

Dans mes recherches j'ai démontrer dans un exercice que
pour tous x £ Q+ * -{1}; ln(x) £ R\Q.
Pour cela si vous voulez je vous ecris l'enoncé de la preuve avec integral bien entendu!
puisque Le produit d'un irrationnel par un rationnel(irrational) est irrationnel (on peut le montrer par absurde)
alors ln(p) / ln(q) est irrationel pour p et q £ N*\{1}
il est rationnel dans le cas ou p=1 et q £ N*.
et aussi dans le cas ou p=q biensur avec p et q £ N*\{1}.
Sauf erreur!!L'autre piste qui m'est venue: ln(p)/ln(q)=a/b.ce qui revient à dire que  p^b=q^a par bijectivité de la fonction ln.une étude de cas pour cette équation diophantienne s'exige!Have fun!


Dernière édition par n.naoufal le Mer 24 Juin 2009, 22:21, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
houssa
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 1693
Age : 68
Date d'inscription : 17/11/2008

Logarithmes  et Rationnels Empty
MessageSujet: Re: Logarithmes et Rationnels   Logarithmes  et Rationnels EmptyMer 24 Juin 2009, 22:19

je veux bien naoufel , merci

.
Revenir en haut Aller en bas
n.naoufal
Expert sup
n.naoufal


Masculin Nombre de messages : 595
Age : 33
Localisation : France.
Date d'inscription : 05/11/2008

Logarithmes  et Rationnels Empty
MessageSujet: Re: Logarithmes et Rationnels   Logarithmes  et Rationnels EmptyMer 24 Juin 2009, 22:22

Alors je l'écris en latex ! ayez la bonté de m'attendre! Merci!Smile
Revenir en haut Aller en bas
n.naoufal
Expert sup
n.naoufal


Masculin Nombre de messages : 595
Age : 33
Localisation : France.
Date d'inscription : 05/11/2008

Logarithmes  et Rationnels Empty
MessageSujet: Re: Logarithmes et Rationnels   Logarithmes  et Rationnels EmptyMer 24 Juin 2009, 23:06

On considere l'integrale:

Logarithmes  et Rationnels A07b43cc68047977f36ac7f6676497004282b084

Maintenant on passe par une IPP :

Logarithmes  et Rationnels 6e75e522b7df6b8391d66d5d8c8d6264e65c50e1

en posant Logarithmes  et Rationnels E46ad25230a2de682dc1be45f5309483e47b0fe2 et Logarithmes  et Rationnels 9ead065c9945877777d8f17dc1c888afbc233021

Ainsi Logarithmes  et Rationnels Ad05000c483c9e8033fb0ad4584091a1d6ed2a19 et Logarithmes  et Rationnels 4f9056b0c126b66c1bb83c8bf9b2d5b700419875

On obtient Logarithmes  et Rationnels 8891d44c7071720cec0856f0f1e772cc0f317df6

ainsi avec Logarithmes  et Rationnels 23489e6fce51c813de8ad5c575568acf81e90189 et Logarithmes  et Rationnels 9ead065c9945877777d8f17dc1c888afbc233021

D'ou Logarithmes  et Rationnels 95cc44fd5aded6a40c467e06dc27f1fb6bbcdef7

CAD Logarithmes  et Rationnels A98f99046fdb1ecb3422d94b183d7f5e3c098961

Maintenant je vous laisse le soin de prouver aisement avec récurrence que

Logarithmes  et Rationnels 3bad230e529781e01a2131d185b612bb7bd2747d

Comme x appartient à Logarithmes  et Rationnels C3156e00d3c2588c639e0d3cf6821258b05761c7 alors Logarithmes  et Rationnels 755942150f3adaeeabf1fe394e4ac4d5c1b2d92a et puisque Logarithmes  et Rationnels 3331fd31a613322472db8c686bb7c7c92ccc1b51 est à coefficients entiers et de degré Logarithmes  et Rationnels D1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa alors Logarithmes  et Rationnels 0e19a8dc2ac6779e749efa069fb2c39dbe551be7 et Logarithmes  et Rationnels 19f0cdb23d30d23be681f180089b73df879a975c sont aussi des entiers. puisque:

Logarithmes  et Rationnels A1a66fb3440c6d713b1f92d8d2ea24c197208327.

Or,Logarithmes  et Rationnels 240462883d6fbcce32e64403d05790428c0f52a0, Logarithmes  et Rationnels Fa635f50e7d9bc1e2dd14ebf39cdf1907c48a4a8, Logarithmes  et Rationnels 4b10e85e078940b8d8ca5762ed757741f193a599 et Logarithmes  et Rationnels 8ff979489c078cb10e8dd8c0842f97848679637a donc : Logarithmes  et Rationnels 7d428e3722372edfa918fb750f2a3e572909a6f8*

D'après une inégalité quand peut démontrer des l'integrale:

qui est :Logarithmes  et Rationnels 6ee0cb174b8dd20fd9254784b89a5e9cb46aeeb4

alors d'apres cette derniere on trouve que Logarithmes  et Rationnels 95cfeee25ec438f33291f08e41557fe4d1583166

Puisque Logarithmes  et Rationnels Ae83a13ee306155bb37f7905c628a12f5e7e3acf alors Logarithmes  et Rationnels E44ca4d7c39b776c52fe5ac06c20231f98182570

Alors apres une petite reflexion on vient à Logarithmes  et Rationnels Eb9a34e0dde73ee1308039c72f6cf05ddb4c99ef

La suite Logarithmes  et Rationnels 6988d2cc83a832f48b333d8591756c2dcc24b28d est une suite d'entiers non nuls qui converge vers 0, absurde.

Donc Logarithmes  et Rationnels 737763af47caade93fdf44e1914ef47e081c1e2f est irrationnel.

Soit Logarithmes  et Rationnels 66fc63b2deb205084a8dccdcb67d04f9372d5e74 si Logarithmes  et Rationnels 7b90ede25ea48afcb1718e15902d442e99a72e37* d'apre ce qu'on vient de rediger Logarithmes  et Rationnels 4f4eb616ed6e06ec9d71bdc34beb1f12fb57d77f absurde donc Logarithmes  et Rationnels Bd7e14b2aa03b05206860388c600eb4a79726bba



Logarithmes  et Rationnels Eb4a6bce943d571a4f8b765418e0a29837c22388
C'est fatiguant ce latex! pas grave Smile !!
Sauf erreur
Revenir en haut Aller en bas
houssa
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 1693
Age : 68
Date d'inscription : 17/11/2008

Logarithmes  et Rationnels Empty
MessageSujet: Re: Logarithmes et Rationnels   Logarithmes  et Rationnels EmptyJeu 25 Juin 2009, 05:16

c'est du boulot

je vois autrement

si : ln p/ln q = a/b

1) p=1 , q > 1 ====> a=0 , b # 0

2) p=q >1 =====> a=b #0

3) 1 < p # q =====> 0 < a # b
( on peut supposer a/b irréductible )

ln p/ln q = a/b <===> p^b = q^a

donc p et q ont les mêmes diviseurs premiers

soit di l'un d'eux

p = produit des( di^bi)
q = produit des (di^ai)

p^b = q^a =====> bi.b = ai.a

===> bi / ai = a/b : rapport rationnel constant k

exemple:

ln( (2^3).(5^8 ).(7^6) ) / ln( (2^6).(5^16).(7^12) = 1/2

3/6 = 8/16 = 6/12

conclusion :

lnp/lnq = k rationnel > 0 <===> p= q^k

..........................
Revenir en haut Aller en bas
Contenu sponsorisé





Logarithmes  et Rationnels Empty
MessageSujet: Re: Logarithmes et Rationnels   Logarithmes  et Rationnels Empty

Revenir en haut Aller en bas
 
Logarithmes et Rationnels
Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» rationnels
» suite de rationnels
» Une suite de nombres rationnels positifs.
» polynome et bijection des nombres rationnels

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Lycée :: Terminale-
Sauter vers: