Bon exo !

Bjr !

je vous propose un bon exo


Soit f une fonction de IN dans IN telle que :
* f(n + 1) > f(n)
* et f(f(n)) = 3n.

Que vaut f(2 007) ?

Bonne chance

SLT

je ne ss pas un amateur des équations fonctionnelles mais j'ai bien aimé cet exo, bon j'ai trouvé que f(2007)=3834 , j'attends la confirmation de Mouados pour poster une démo incha2allah
A+

C'est exact neutrino, tu peux poster ta solution.
C'est un exercice intéressant.

f(0)=0 , f(1)=1 ........

comment ????????

il faut bien le démontrer !?

une idée incomplète

2007 = 3.669 = fof(669)= fofofof(223) < fofofof(225)= f^6(75) =f^8(25) < f^8(27) = f^10(9)=f^12(3) = f^14(1)

===> f(2007) < f^14(f(1)= 3^7.f(1)

====> f(2007) < 2187.f(1)

.........
f(0)=0 par l'absurde
si f(0) > 0 ===> fof(0) > f(0) ===>3.0 > f(0) impossible
.................................
f(1) = a > f(0) ====> a > 0
fof(1) > f(1) ===> 3.1 > a =====> a= 1 ou 2
si f(1) =1 ===> fof(1) = f(1) ====> 3.1 = 1 impossible
donc f(1) = 2

f(2007) < 4374

f(2)=b > f(1) ==> f(2)> 2
fof(2) > f(2) ====> 6 > b =====> b = 3 , 4 , 5

2007 = 3.669 = f²(669) = f²of²(223) > f^4(222) = f^6(74) > f^6(72) = f^8(24) = f^10( 8 ) > f^10(6) = f^12(2)

f(2007) > f^12(f2) ====> f(2007) > 3^6.f(2)

f(2007) > 729.f(2)

conclusion:

729.f(2) < f(2007) < 4374

..........................................

voici ma solution:

des faits facile à démontrer:
*f(n+1)>=f(n)+1
* f(n)>=n

-montrons que f(3n)=3f(n):

ona : fof(n)=3n (*) donc fofof(n)=f(3n) or fofof(n)= 3f(n) ( en remplaçant n par f(n) dans (*)) , on déduit que f(3n)=3f(n) une simple récurence abouti à f(3^kn)= 3^kf(n)

- montrons que f(1)=2:
ona : fof(n)= f( f(n))>= f(n) donc f(n)<=3n alors f(1)<=3
or : f(3n)=3f(n) ==> f(0)=0
donc f(1)>=1
si f(1)=1 alors f(f(1))=f(1) ==> 3=f(1) absurde
si f(1)=3 alors f(1)=f(f(1)) > f( f(1)-1) et comme f est strictement croissante on déduitq que 1>f(1)-1 ==> f(1)<2 absurde
alors f(1)=2
ona : f(2)= f(f(1)) =3
f(3)= 3f(1)=6
f(6)=3f(2)=9 et comme :f(3)<f(4)<f(5)<f(6)
on déduit que f(4)=7 et f(5)=8
ona aussi : f(15)=3f(5) = 24
f(18)=9f(2)= 27
et comme f(15)<f(16)<f(17)<f(18)
on déduit que : f(16)=25 et f(17)=26

ona : f(45)=9f(5)= 72 et f( 48)= 3f(16)= 75
avec le meme raisonnement ==> : f(46)=73 , f(47)=74
ona : f(141)= 3f(47)=222
et f(144)=3f(48)=225
donc : f(142)=223 et f(143)=224

==>: f(2007)= f(9*223)=9f(223)= 9*f(f(142))= 9*3*142=3834 ( sauf erreur)

ui c'est ca Neutrino .. quant a la methode de Houssa ..c'est juste .. Il vous fallait Mr , juste de calculer le f(2) , comme ce qu'a fait Neutrino .. et Merci comme meme , pour la contribution

La démonstration de neutrino est très bien.
On peut donner une formule permettant le calcul de f(n) pour tout n.
Avec le même raisonnement qui permet le calcul de f(n) pour n<10 on montre facilement par récurrence que:
si 3^k<=n<=2*3^k alors f(n)=n+3^k
si 2*3^k<=n<=3^(k+1) alors f(n)=3*n-3^(k+1).

Par suite, f(2007)=f(3^7-180)=3*2007-3^7=3834.
On peut faire le calcul pour des n beaucoup plus grands:
n=10^6 est compris entre 3^12 et 2*3^12 donc f(10^6)=10^6+3^12=1531441.
n=10^9 est compris entre 2*3^18 et 3^19 donc f(10^9)=3*10^9-3^19=1837738533.

Si on utilise l'écriture de n en base 3 les formules sont plus simples:
f(1abc...xyz)=2abc...xyz et f(2abc...xyz)=1abc...xyz0.

La suite f(n) est la suite A3605 de l'encyclopédie des suites d'entiers.