Problème de la semaine N°193 (06/07/2009-12/07/2009)

salut
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solution postée

Solution Postée
*** p est premier > 5 <=> p=1mod[3] ou p=2mod[3] <=> p=1mod[3] ou p=-1mod[3]

Donc : p^8=1^8mod[3] => 3 Divise p^8-1


*** Or On a "p" premier et p>5 , donc il est congru 1,2,3,4 modulo 5

p=1mod[5] <=> p^8-1=1-1=0mod[5]
p=2mod[5] <=> p^8-1=256-1=0mod[5]
p=3mod[5] <=> p^8-1=6561-1=0mod[5]
p=4mod[5] <=> p^8-1=16777216-1=0mod[5]

Donc quelque soit "p" premier > 5 ==> 5 divise p^8-1

*** On a aussi , puisque "p" est premier > 5 , que p est impaire : p=2k+1

Donc : p^8 = 256.k^4(k+1)^4 + 256.k^3(k+1)^3 + 96.k^2(k+1)^2 + 16k(k+1) + 1

<=> p^8-1 = 16 [ 16.k^4(k+1)^4 + 16.k^3(k+1)^3 + 6.k^2(k+1)^2 + k(k+1) ] ==> 16 Divise p^8-1

** et on a 16 et 5 et 3 Premieux entre eux .. Donc 16*5*3 divise p^8-1 <=> 240 divise p^8-1 CQFD ... !

solution postée
salut ;



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Postée
on p premier >2
donc p pair
d'où p²+1 ,p²-1 et p^4+1 pairs
d'où 8=2^3|(p²+1)(p²-1)(p^4+1)=p^8-1

aussi p>5 premier ,donc premier avec 5
d'où selon Fermat p^4=1(mod5)
d'où p^8=1(mod5)
d'où 5|p^8-1

p premier aussi avec 3 ,donc p=1(mod3) ou bieen p=2(mod3)
pour p=2(mod3) ,p²=1(mod3) ,d'où p^8=1(mod3)
pour p=1(mod3) il est clair que p^8=1(mod3)
CLC:pour tous les cas 3|p^8-1

ON A : 8|p^8-1 , 5|p^8-1 , 3|p^8-1 et les trois nbrs 8,5et 3 premiers entre eux deux à deux
DONC 240=8.5.3|p^8-1 CQFD

solution postée...

solution postée

solution postée


1-p est premier donc p est impaire donc p-1 est paire
donc
donc
2-on sait que parmis trois nombres successif l'un d'eux est divisible par 3
p-1 et p et p+1 sont successif, p n'est pas divisible par trois donc 3 divise p-1 ou p+1
donc
3-si
alors
donc
-si
alors
donc
donc
-si
alors
donc
-si
alors
donc
de 1 2 et 3 on conclut que

solution postée
on peut remarquer que 240=5*3*16
p est premier et p>5>3 ===> p=1[3] ou p=2[3]
===> p²=1[3]
===> p^8=1[3]
donc 3|p^8-1

p est premier et p>5>3 donc pgcd{p,5}=1
selon le TH. de FERMAT p^4=1[5] donc p^8=1[5]
donc 5|p^8-1

p^8-1=(p-1)(p+1)(p²+1)(p^4+1) et p est premier et p>5>3 donc chacun des termes de ce produit est paire puisque p est impair d'ou :
16|p^8-1

et puisque 3,5,16 sont premiers 2 à 2 selon le TH. de GAUSS 240|p^8-1