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 bissectrice d'un angle???

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smash
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smash

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MessageSujet: bissectrice d'un angle???   bissectrice d'un angle??? EmptyMer 08 Juil 2009, 15:44

je me demande quelles sont les caractéristiques d'une bissectrice d'un angle dans un triangle ABC. Pouvez vous les démontrer.
et merci bcp d'avance:D
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nmo
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MessageSujet: Re: bissectrice d'un angle???   bissectrice d'un angle??? EmptyMar 20 Avr 2010, 11:49

Voici une:
Soit ABC un triangle quelquonque et soit D le point d'intersection de [BC] et de la bissectrice de l'angle BAC.
Montrez que DB/DC=AB/AC.
Bonne chance.
P.S: Je donne la démonstration plus tard.


Dernière édition par nmo le Mar 20 Avr 2010, 15:43, édité 1 fois
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M.Marjani
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M.Marjani

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MessageSujet: Re: bissectrice d'un angle???   bissectrice d'un angle??? EmptyMar 20 Avr 2010, 12:30

bissectrice d'un angle??? Angle_bisectors_10

Du congruence des triangles : AMF, AME
Il en résulte que : PE=PF (1)
Du congruence des triangles BMF, BMD
Ca done : PF=PD (2)

Alors : PE=PD, ce qui veut dire que P à la méme distance des cotés du triangle. Ce qui démontre aussi qu'elle ce situe sur le bissectrice d'un angle ACB.
On résulte donc que : [tex]\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}[/tex]
On géneralize donc: bissectrice d'un angle??? D3fe45e9e34a28992d1d42f803d7bcb4
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nmo
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MessageSujet: Re: bissectrice d'un angle???   bissectrice d'un angle??? EmptyDim 02 Mai 2010, 17:36

Une réponse d'une autre manière:
Considérons le triangle ABD.
En appliquant la loi des sinus.
On trouve: bissectrice d'un angle??? Gif.
Donc bissectrice d'un angle??? Gif.
Donc bissectrice d'un angle??? Gif.
Considérons le triangle ADC.
En appliquant la loi des sinus.
On trouve: bissectrice d'un angle??? Gif.
Donc bissectrice d'un angle??? Gif.
Donc bissectrice d'un angle??? Gif.
On a AD est la bissectrice de l'angle BAC.
Donc BAD=DAC. (angles)
Donc bissectrice d'un angle??? Gif. (angles) ==>(1)
Et on a BDA et ADC sont deux angles complémentaires.
Donc bissectrice d'un angle??? Gif. (angles) ==>(2)
On divise 1 sur 2 pour trouver bissectrice d'un angle??? Gif. (angles)
Soit en résumé bissectrice d'un angle??? Gif.
Donc bissectrice d'un angle??? Gif.
CQFD.
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nmo
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MessageSujet: Re: bissectrice d'un angle???   bissectrice d'un angle??? EmptyDim 02 Mai 2010, 17:38

M.Marjani a écrit:
bissectrice d'un angle??? Angle_bisectors_10

Du congruence des triangles : AMF, AME
Il en résulte que : PE=PF (1)
Du congruence des triangles BMF, BMD
Ca done : PF=PD (2)

Alors : PE=PD, ce qui veut dire que P à la méme distance des cotés du triangle. Ce qui démontre aussi qu'elle ce situe sur le bissectrice d'un angle ACB.
On résulte donc que : [tex]\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}[/tex]
On géneralize donc: bissectrice d'un angle??? D3fe45e9e34a28992d1d42f803d7bcb4
Peux-tu m'éclairer tant?
S'il te plait respecte l'exercice que j'ai donné.
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M.Marjani
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M.Marjani

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MessageSujet: Re: bissectrice d'un angle???   bissectrice d'un angle??? EmptyDim 02 Mai 2010, 21:43

[quote="nmo"]
M.Marjani a écrit:
bissectrice d'un angle??? Angle_bisectors_10

S'il te plait respecte l'exercice que j'ai donné.

Désolé, j'ai repondu pour le sujet pas pour votre EX.
Et j'ai généralisé le résultat pour votre EX.
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Azerty1995
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Azerty1995

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MessageSujet: Re: bissectrice d'un angle???   bissectrice d'un angle??? EmptyDim 02 Mai 2010, 22:14

Voici une méthode plus facile: bissectrice d'un angle??? Icon_smile
Soit (d) une droite passant par C et parallele à (AD) et qui coupe (AB) en E
On utilise Thalès et on obtient: DB/DC =AB/AE
On (AD) et (EC) sont parallèle et (AC) les coupe : ACE=CAD(angles)
(AD) est la bessectrice de l'angle BAC :CAD=DAB(angles)
Donc: AEC=ACE(angle) alors le triangle AEC est isocele en A : AB=AC
On a DB/DC= AB/AE
On remplace AB par AC et on a
DB/DC=AB/AC
bissectrice d'un angle??? Icon_cheers
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nmo
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MessageSujet: Re: bissectrice d'un angle???   bissectrice d'un angle??? EmptyLun 03 Mai 2010, 15:34

Azerty1995 a écrit:
Voici une méthode plus facile: bissectrice d'un angle??? Icon_smile
Soit (d) une droite passant par C et parallele à (AD) et qui coupe (AB) en E
On utilise Thalès et on obtient: DB/DC =AB/AE
On (AD) et (EC) sont parallèle et (AC) les coupe : ACE=CAD(angles)
(AD) est la bessectrice de l'angle BAC :CAD=DAB(angles)
Donc: AEC=ACE(angle) alors le triangle AEC est isocele en A : AB=AC
On a DB/DC= AB/AE
On remplace AB par AC et on a
DB/DC=AB/AC
bissectrice d'un angle??? Icon_cheers
Bien joué.
Tu voulais dire remplacer AE par AC.
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Azerty1995
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Azerty1995

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MessageSujet: Re: bissectrice d'un angle???   bissectrice d'un angle??? EmptyLun 03 Mai 2010, 18:34

Ah oui
Faute dinnatention ^^
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nmo
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MessageSujet: Re: bissectrice d'un angle???   bissectrice d'un angle??? EmptyMar 27 Juil 2010, 17:49

Une autre caractéristique difficile à prouver:
Soit ABC un triangle tel que AB=c, BC=a, et CA=b, la bissectrice intérieure de l'angle A coupe (BC) en M.
Montrez que: AM²=b.c.[1-(a/(b+c))²].
Bonne chance.
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ayoubmath
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MessageSujet: Re: bissectrice d'un angle???   bissectrice d'un angle??? EmptyMar 27 Juil 2010, 19:18

.

bissectrice d'un angle??? 197px-Triangle_ABC_with_bisector_AD.svg

1--pour la premier question une solution tres facile
on a BD/sinBAD = AB/sinBDA et DC/sinDAC=AC/sinADC
tel que sinBAD=sinDAC et aussi sinBDA=sin(180-BDA)=sinADC
donc AB/sinBDA.BD=AC/sinADC.DC alors ab/bd=ac/dc

2--pour la 2 question pour prouver que AD²=b.c.[1-(a/(b+c))²]
pose que t=BD z=DC y=AD

par kashi cos(BAD)=y²+b²_z²/2yb = c²+y²-t²/2cy

on devlop y²(cz²_bt²+bc(c_b)/c_b =(cz²_bt²)/c_b +cb
d'apres la premier question z=ab/c+b et t=ac/b+c
alors t=zc/b et z=bt/c qui donne cz²_bt²=zt(b_c)
donc y²=cb_zt=cb_ab/a+b .ac/a+c =cb _a²bc/(b+c)²=b.c.[1-(a/(b+c))²]

.

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nmo
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MessageSujet: Re: bissectrice d'un angle???   bissectrice d'un angle??? EmptyJeu 29 Juil 2010, 18:16

ayoubmath a écrit:
.

bissectrice d'un angle??? 197px-Triangle_ABC_with_bisector_AD.svg

1--pour la premier question une solution tres facile
on a BD/sinBAD = AB/sinBDA et DC/sinDAC=AC/sinADC
tel que sinBAD=sinDAC et aussi sinBDA=sin(180-BDA)=sinADC
donc AB/sinBDA.BD=AC/sinADC.DC alors ab/bd=ac/dc

2--pour la 2 question pour prouver que AD²=b.c.[1-(a/(b+c))²]
pose que t=BD z=DC y=AD

par kashi cos(BAD)=y²+b²_z²/2yb = c²+y²-t²/2cy

on devlop y²(cz²_bt²+bc(c_b)/c_b =(cz²_bt²)/c_b +cb
d'apres la premier question z=ab/c+b et t=ac/b+c
alors t=zc/b et z=bt/c qui donne cz²_bt²=zt(b_c)
donc y²=cb_zt=cb_ab/a+b .ac/a+c =cb _a²bc/(b+c)²=b.c.[1-(a/(b+c))²]

.

Bien.
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M.Marjani
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M.Marjani

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MessageSujet: Re: bissectrice d'un angle???   bissectrice d'un angle??? EmptyJeu 29 Juil 2010, 20:45

Je propose:

Que soit h la hauteur du triangle ABC. On veut trouver la relation entre les deux triangles ABM et AMC, sachant que h est la hauteur de ces deux dérniers.

S(ABM) / S(ACM) = (BM*h/2) / (CM*h/2) = BM/CM = (AB*AM*Sin(BAM)/2) / (AC*AM*Sin(CAM)/2)
Or les angles <BAM = <CAM, donc BM/CM=AB/AC (1).

Ce qui est façile avec Alkachi.

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