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 quadrilatère dans un carré

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houssa
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MessageSujet: quadrilatère dans un carré   Jeu 09 Juil 2009, 22:15

Soit un carré de côté 1.
Sur chaque côté on marque un point : soient A , B , C , D formant un
quadrilatère convexe

AB=a , BC=b , CD=c , DA=d

Montrer que : 0 < a²+b²+c²+d² < 4 ( au sens large )

........................................
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majdouline
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MessageSujet: Re: quadrilatère dans un carré   Jeu 09 Juil 2009, 22:37

soit EFGH le carré ABCD le quadrilatère convexe qui st trouve à l'intérieur....
soit A£[EF]....B£[EH]....C£[HG].....D£[GF]
on sait que 0≤a²+b²+c²+d² (des carrés parfaits)
avec égalités si et seulement si a=b=c=d=0
et cela est vrai si:A=B=C=D
ce qui n'est pas possible puisque A£[EF]....B£[EH]....C£[HG].....D£[GF]
et E≠F≠G≠H
alors 0 < a²+b²+c²+d² (1)
-----------------------------------------------------------
d'après Pythagore on a :
a²=AB²=AE²+BE²
b²=BC²=BH²+HC²
c²=CD²=CG²+GD²
d²=AD²=AF²+FD²
en sommant on a :
a²+b²+c²+d²=AE²+AF²+FD²+DG²+GC²+CH²+BH²+BE²
<=>a²+b²+c²+d²=(AE+AF)²+(FD+DG)²+(GC+CH)²+(BH+BE)²-2(AE.AF+FD.DG+HC.CG+HB.BE)
<=>a²+b²+c²+d²=4-2(AE.AF+FD.DG+HC.CG+HB.BE)
on sait que AE.AF+FD.DG+HC.CG+HB.BE>0
alors -2(AE.AF+FD.DG+HC.CG+HB.BE)<0
4-2(AE.AF+FD.DG+HC.CG+HB.BE)<4
a²+b²+c²+d²<4 (2)
-----------------------------------------
de (1) et (2) on a :
0 < a²+b²+c²+d² < 4
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majdouline
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MessageSujet: Re: quadrilatère dans un carré   Jeu 09 Juil 2009, 22:53

mais je me demande .....si par exemple on a :
A=E.....et D=F et C=G et B=H (ABCD est un carré---->quadrilatère convexe)
AINSI a²+b²+c²+d²=4
y a encore d'autres cas d'égalités......
DONC ....c plutot 0 < a²+b²+c²+d²≤4
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houssa
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MessageSujet: Re: quadrilatère dans un carré   Ven 10 Juil 2009, 11:41

si tu poses AE=x , AF=y

AE²+AF²=x²+y²

EF=x+y=1

x²+y² = x²+(1-x)²= 2x²-2x +1 = 2(x-1/2)²+1/2

minimum(x²+y²) = 1/2 ( pour x=1/2)
maximum(x²+y²) = 1 ( pour x=0)

1/2 =< x²+y² =< 1

cette double inégalité figure 4 fois ( pour chaque côté)

=====> 2 =< a²+b²+c²+d² =< 4

..........................................
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