Eq,Diff

Soit q une fonction continue sur IR ne prenant que des valeurs négatives.
considèrons l'eq diff y"+q(x)y=0 sur IR
Mq si f est une solution bornée de cette eq diff alors f=0

Bon exo....classique plutot,yah les nouveaux spéistes...à vos stylos!!!

y"+q(x)y=0==> y"y+y'²+q(x)y²=y'² ===> y"y+y'²=y'²-q(x)y

==> (y'y)'=y'²-q(x)y>0 donc y'y est croissant

cas1 signe de f est constant (on prend f>0)

- si il existe a tq f'(a)=0 on f"=-q(x)f>0 donc pour tt x>a>y
f'(x)>f'(a)=0>f'(y) donc f est croisante en [a,+00[ et

decroissante en ]-00,a] et avec f est borné==> f admet une limte

fini en +00 et -00 ==> f'->0 en +00 et -00 et puisque f borne ==> f'f->0 en +00 et -00
et on f'f est croisante donc lim(x->-00)f'f<=f'f=<lim(x->+00)f'f

donc f'f=1/2(f²)'=0 ==>f² est consantant avec f continue==>f est consatant en remplace a l'equation f=0

-si f' ne s'annule pas donc il a une signe constant (on prend f'>0)

donc f croisant avec borné ==> f admet une limite finie en
(+et-)00 et de meme en mq f=0

2) f n'a pas un signe constant ==> il s'annule
a) si f change une seul fois son signe en a donc f a
on pose I=[a,+00[ et J=]-00,a] (on prend f>0 en I et f<0 en J)

donc f"=-q(x)f>0 en I ainsi il est facile d'éprouver que f'(a)>=0

donc en deduit que x>a==>f'(x)>f'(a)>0 (et on fait la meme analyse du premier partie)....

b) f change sa signe plusieur fois (ce cas n'existe pas) car si ce fut le cas donc il existe 2 valeur a>b tq f(a)=f(b)=0==>
f'(a)f(a)=f'(b)f(b)=0 et f'f croissante ==> pour tt x£[a,b]

f'(a)f(a)<=f'(x)f(x)<=f'(b)f(b) donc (f'f)=0 ==>(f²)'=0 donc f² constant avec f continue ==>f est constant ==>f=0

d'ou la resultat

trés belle solution,je vais juste essayer de donner une autre piste plus simple.

si on pose w=f²,on aura w''=2ff'+f'²=f'²-2qf²>=0,w est donc convexe.

si w est constante,f l'est aussi,on remplace dans l'équation et sachant que q prend de valeurs strictement négatives,alors f=0.


sinon,il existe a tel que w'(a)#0,l'une des équivalence de la caractère convexe de f donne,pour tout t de IR on a w(t)>=w(a)+w'(a)(t-a),selon le signe de w'(a),w tend vers + ou - infinie.d'où f n'est bornée.

CQFD!

trés belle et simple solution.

Bonne solution pour les deux.
En effet, on peut traiter cet exercice à l'aide de la convexité.