[f(a,b,c)]= f(a,b,c)+f(c,a,b)+f(b,c,a)
homogénisant l'inégalité devient :
[ (a+b)²(a+c)²/(b²+c²)] >= 8[ab]
par cauchy shwarz : [ (a+b)²(a+c)²/(b²+c²)]*[a²(b²+c²)] >= ( [a(a+b)(a+c))² = ( [a^3]+[ab(a+b)] +3abc )²
il suffit de montrer que : ( [a^3]+ [ab(a+b)] +3abc)² >= 16[ab]*[(ab)²]
par schur : [a^3] +3abc >= [ab(a+b)]
il suffit de mq: 4 ([ab(a+b)])² >= 16[ab][ (ab)²]
<=> ( [ab(a+b)])² >= 4[ab][ (ab)²]
or par am-gm : ( [ab(a+b)])² = ( [a²b]+[b²a])² >= 4[a²b][b²a]
il suffit de montrer que : [a²b][b²a] >= [ab][(ab)²]
<=> : abc ( [a^3] +3abc - [ab(a+b)]) >= 0 ce qui est schur
(sauf erreur)
Accueil 
