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 Une suite pour les MPSI-Beginners et les Sup ....

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3 participants
AuteurMessage
Oeil_de_Lynx
Expert sup
Oeil_de_Lynx


Masculin Nombre de messages : 3113
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MessageSujet: Une suite pour les MPSI-Beginners et les Sup ....   Une suite pour les MPSI-Beginners et les Sup .... EmptyMar 04 Aoû 2009, 21:48

BSR à Toutes et Tous !!
Voilà un exo sympa de niveau Sup pour ce qui concerne la dernière question .....

On considère (un)n une suite de réels verifiant (1/2)<un<1 pour tout entier naturel n .
On construit à partir de celle-ci , un nouvelle suite (vn)n définie ainsi :
vo=uo et pour tout entier naturel n>=1 on pose :
vn={(v(n-1)+un )/( 1+un.v(n-1))}.
1) Montrer que vn >0 pour tout n .
2) Montrer que vn <1 pour tout n .
3) Montrer que (vn)n est CROISSANTE et en déduire qu'elle CONVERGE vers une limite que l'on notera L .

Enfin , Cerise sur le Gâteau ...
4) Prouver que L=1.

Indication pour la 4) : on pensera au Théorème de Bolzano-Weierstrass .

Bonne Soirée & Bonne Continuation de Vacances !!
LHASSANE
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younssi
Féru



Masculin Nombre de messages : 34
Age : 33
Date d'inscription : 17/07/2009

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MessageSujet: Re: Une suite pour les MPSI-Beginners et les Sup ....   Une suite pour les MPSI-Beginners et les Sup .... EmptyMer 05 Aoû 2009, 00:56

Salut, et merci pour l'exercice
pour 1, 2 on utilise la récurrence
pour 3: Vn croissante majoré , donc converge vers L
4-) un borné donc B-W assure qu'il admet une sous suite Uf(n) qui converge vers L' et 1/2=<L'=<1
on a toute sous suite d'une suite convergente converge vers la méme limite ainsi Vf(n) converger vers L et 0=<L<=1
on a Vf(n)=(v(f(n)-1)+Uf(n) )/( 1+Uf(n).v(f(n)-1))
en tendant n a l'infini (f(n) tend aussi vers l'infini)
on aurra L=(L+L')/(1+LL')
cad L+L²L'=L+L' => L'(L²-1)=0 cad L²=1 car 1/2=<L'=<1
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Oeil_de_Lynx
Expert sup
Oeil_de_Lynx


Masculin Nombre de messages : 3113
Age : 75
Localisation :
Date d'inscription : 13/08/2007

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MessageSujet: Re: Une suite pour les MPSI-Beginners et les Sup ....   Une suite pour les MPSI-Beginners et les Sup .... EmptyMer 05 Aoû 2009, 08:47

BJR à Toutes et Tous !!
BJR younssi !!

Rien à rajouter ! C'est du Joli Travail , Correct à Tous les Points de Vue et Très Soigné en plus !!

LHASSANE

PS : j'aurai souhaité qu' un ( une ) BACSM détaille les trois premières questions qui me paraissent sur le plan technique intéressantes !!!
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younssi
Féru



Masculin Nombre de messages : 34
Age : 33
Date d'inscription : 17/07/2009

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MessageSujet: Re: Une suite pour les MPSI-Beginners et les Sup ....   Une suite pour les MPSI-Beginners et les Sup .... EmptyMer 05 Aoû 2009, 12:44

Merci pour vous Mr LHASSANE
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paheli
Expert sup
paheli


Masculin Nombre de messages : 688
Age : 34
Localisation : somewhere
Date d'inscription : 19/08/2007

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MessageSujet: Re: Une suite pour les MPSI-Beginners et les Sup ....   Une suite pour les MPSI-Beginners et les Sup .... EmptyMer 12 Aoû 2009, 01:12

Salam!!
1- pour n=0 on a V0=U0>1/2>0
suposant que Vn>0
pour n+1 on a Vn+1=(Vn+Un+1)/(1+Vn.Un+1)
Vn>0 et pr tt n de N Un>1/2>0 alors pour n+1 Un+1>0
donc on aura que( Vn+(Un+1))>0 et 1+Vn.Un+1>0
donc (Vn+Un+1)/(1+Vn.Un+1)>0
Vn+1>0
alors pr tt n de N Vn>0

2-d'abord il est facile de demontrer que
Vn<1 <==> Vn-1(1-Un)<(1-Un)
pour n=1 V0=U0<1
alors Vo<1 <==> Vo(1-U1)<(1-U1) <==>V1<1
V1<1 <==> V1(1-U2)<(1-U2) <==>V2<1
.
.
.
pour n-2 : Vn-2(1-Un-1)<(1-Un-1) <==>Vn-1<1
Vn-1<1 <==> Vn-1(1-Un)<(1-Un) <==>Vn<1

3-Vn+1-Vn=[(Un+1(1-(Vn)²)]/(1+(Un+1).Vn)
on sait que Un+1>0 et Vn>0 alors la signe de Vn+1-Vn est de 1-(Vn)² et on a selon la deuxiee question 1>Vn alors 1-Vn²>0
donc Vn+1-Vn>0 alors Vn est croissante

on a que Vn croissante est majoré par 1 , donc Vn converge vers L

A+Waraq
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MessageSujet: Re: Une suite pour les MPSI-Beginners et les Sup ....   Une suite pour les MPSI-Beginners et les Sup .... Empty

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