trop facile

1)_let a,b,c be positive numbers such that: abc=1 , prouve that :





2)_let a,b,c be non-negative numbers , no two of which are zero , prouve that :






3)_let a,b,c be positive numbers such that a²+b²+c²=3 prouve that :






good fortune !!

4)_if a,b,c are positive number then :

Pour la première elle equivaut à



é la dernière inégalité é trivial

puisk a^3+b^3+c^3>= a^2+b^2+^c^2 et a+b+c>=3


------------------------------------


pour la dexième que jé bien aimé on a





ce qui é clairement vrai !!

ou bien utilisé chybechev 2 fois directement nous donne !!

la partie gauche => (1/3)[a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)][9/(2a²+2b²+2c²)]

=>(1/9)(a²+b²+c²)(2a+2b+2c)[9/(2a²+2b²+2c²)]

=a+b+c

[(a-1)/(b+c)] +[(b-1)/(a+c)] + [(c-1)/(a+b)] => (1/3)(a+b+c-3)[9/(2a+2b+2c)]


pour que cette inégalité soit vrai , il suffi de prouvé que :

a+b+c-3 =>0 ce qui est vrai par AM-GM .

3)_


la partie gauche => [(2/3)(a²+b²+c²)][9/(2a+2b+2c)]=9/(a+b+c)



et on a :a²+b²+c² => (1/3)(a+b+c)² ===> 1/(a+b+c) =>(1/3)


donc : la partie gauche =>9/(a+b+c)=3

CQFD

. a écrit:

3)_


la partie gauche => [(2/3)(a²+b²+c²)][9/(2a+2b+2c)]=9/(a+b+c)



et on a :a²+b²+c² => (1/3)(a+b+c)² ===> 1/(a+b+c) =>(1/3)


donc : la partie gauche =>9/(a+b+c)=3

CQFD

Salut kogu !!

Theorem: Inégalité de Chebychev

Si >=0 et

alors on a



Si et seulment si et


Or



Si et seulment si

et

Donc pour utiliser chebychev il faut avoir ces condition , les inégalités que tu as posté ne verifient pas ces conditions donc tu ne peux pas utiliser chebychev

car

si b>a>c

alors on a mais on a pas



Donc ce que tu as ecrit né pas juste

salut EINSTEINIUM , merci beaucoup pour ces details ^^

mais on peut avoir aussi dans le cas a>b>c et aussi dans le même cas

Si et

né pas juste pour b>a>c elle ne sera pas juste pour a>b>c car l'inégalité é symétrique

é on a pas b^2+c^2>c^2+a^2 puisk a>b

tu té trompé kogu !!

EINSTEINIUM , mnt j'accepte !(merci pour les explications)

mais s'il te plait , je suis loiiiin de me comporter comme ce" goku "

loooool

La troisième inegalité je lé presque oublié ca fait longtemps

L'inégalité est equivalente à













ce qui est vrai