hexagone ayant un cercle circonscrit

Soit ABCDEF un hexagone ayant un cercle circonscrit. Montrer que les diagonales
AD,BE et CF s’intersectent en un point si et seulement si on a
(AB/BC) · (CD/DE) · (EF/FA )= 1.

Indication : . c'est le produit

Prouvons d'abord que si les diagonales principales sont concourantes, alors (|AB|/|BC|)*(|CD|/|DE|)*(|EF|/|FA|)=1.

Notons G le point d'intersection des trois diagonales principales.

Le triangle ABG est isométrique au triangle EDG. Donc |AB|/|ED|=|AG|/|EG| et |AB|/|ED|=|BG|/|DG|.

Le triangle BCG est isométrique au triangle FEG. Donc |FE|/|BC|=|FG|/|BG| et |FE|/|BC|=|EG|/|CG|.

Le triangle CDG est isométrique au triangle AFG. Donc |CD|/|AF|=|CG|/|AG| et |CD|/|AF|=|DG|/|FG|.

En multipliant les six égalités membres à membres, puis en prenant la racine carrée des deux membres, on obtient :
(|AB|/|BC|)*(|CD|/|DE|)*(|EF|/|FA|)=1.

Prouvons ensuite que si les diagonales principales ne sont pas concourantes, alors le produit (|AB|/|BC|)*(|CD|/|DE|)*(|EF|/|FA|) est différent de 1.

Les droites AD et BE se coupent en un point G. La droite CG recoupe le cercle circonscrit à l'exagone ABCDEF en un point différent de F.

On a (|AB|/|BC|)*(|CD|/|DE|)*(|EH|/|HA|)=1.

Il est évident que la valeur de l'expres​sion(|AB|/|BC|)*(|CD|/|DE|)*(|EF|/|FA|)
est différente de la valeur de l'expres​sion(|AB|/|BC|)*(|CD|/|DE|)*(|EH|/|HA|),
et donc est différente de 1.