solution postée
bonsoir…..
solution du problème de la semaine.….(sauf erreur)
si n est premier alors pour que n divise (n-1)!... n doit diviser l’un des termes n-1 ;n-2,……
or n-1 ;n-2 ;….sont tous inférieurs de n---->alors n ne divise aucun terme ……donc si n est premier (n-1)! N’est pas divisible par n.
si n n’est pas premier :
1)-si n n’est pas un carré parfait:
on peut toujours trouver a et b de IN* tel que :
n=ab (avec a≠b ; a et b sont différents de n et 1 )
(n-1)! est un produit de tous les nombres qui sont inférieurs de n jusqu’à 1…..
et puisque a et b sont inférieurs de n alors a et b sont parmi les termes suivants n-1,n-2……qui sont tous diviseurs de (n-1)! Alors ab / (n-1)!---->
n / (n-1)!
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2)-si n st un carré parfait :
Démontrons que pour tous n≥4
n-1>2√n <=> p(n)=n²-4n+1>0
en utilisant delta pour p(n) :
Δ=20
n=2-√5 ou n=2+√5 p(n) est sous la forme an²+bn+c …avec a=1>0….alors p(n)≥0
Si n£]-∞ ;2-√5]U[2+√5 ;+∞[
Alors si 2+√5 <5≤ n p(n)≥0
donc pour tout n>5 on a : p(n)=n²-4n+1>0
--> n-1>2√n
<=>n-1>2m
on a : 2m≠m et 2m<n-1 et m<n-1
donc m et 2m sont parmi les termes suivants n-1,n-2……qui sont tous diviseurs de (n-1)! Alors 2m² / (n-1)!---->m²/(n-1)!----->n/(n-1)!
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Conclusion :
pour tout n pas premier différent de 4 on a : n/(n-1)!
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