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 exercice

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AuteurMessage
Mona
Habitué


Féminin Nombre de messages : 29
Age : 24
Date d'inscription : 07/02/2009

MessageSujet: exercice   Sam 19 Sep 2009, 21:12

salut tt le monde voilà l'exercice
Soit a,b,c des longueurs d'un triangle
démontrer que a+b+c=1=>a^2+b^2+c^2<1/2
merci .
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marouan777
Maître


Masculin Nombre de messages : 244
Age : 23
Date d'inscription : 05/06/2009

MessageSujet: Re: exercice   Sam 19 Sep 2009, 23:12

on doit demontrer que:
a^2+b^2+c^2<a+b+c/2
a+b+c/2-(a²+b²+c²)=a(1/2-a)+b(1/2-b)+c(1/2-c).
on sait que a+b>c et b+c>a et a+c>b
donc a=<1/2 et b=<1/2 et c=<1/2.
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huntersoul
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1373
Age : 25
Localisation : In my mind
Date d'inscription : 19/02/2007

MessageSujet: Re: exercice   Sam 19 Sep 2009, 23:39

salut
on va démontrer que a+b+c=1=>a²+b²+c²<1/2

Donc on a a+b>c
en multipliant par c les deux parties on aura c(a+b)>c²=>ac+bc>c²
de la même manière on aura ab+bc>b² et ab+ac>a²

Alors on a ac+bc>c²
ab+bc>b²
ab+ac>a²
en sommant on a 2(ab+bc+ac)>a²+b²+c²

et on a a+b+c=1 =>a+b²+c²+2(ab+bc+ac)=1
=>1-(a²+b²+c²)=2(ab+ac+bc)

ainsi on aura 2(ab+bc+ac)>a²+b²+c² =>1-(a²+b²+c²)>a²+b²+c²
=>1>2(a²+b²+c²)
=>1/2>a²+b²+c²

Conclusion : a+b+c=1=>a²+b²+c²<1/2

et Merci
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xyzakaria
Expert grade2


Masculin Nombre de messages : 374
Age : 23
Date d'inscription : 12/12/2008

MessageSujet: Re: exercice   Dim 20 Sep 2009, 12:07

bonjour
on a:
a²+b²+c²=1-2(ab+bc+ac) alors on dois demontrer que:
1/4<ab+bc+ac.
posant mnt [a+b-c=x ; b+c-a=y ; a+c-b=z] alors==> a=(x+z)/2 et b=(x+y)/2 et c=(y+z)/2. notre inégalite devient:
(x+z)(x+y)+(y+z)(x+y)+(y+z)(z+x)>1
<==>x²+y²+z²+3(xy+yz+zx)>1
<==>(x+y+z)²+xy+yz+zx>1
<==>xy+yz+zx>0 (puisque x+y+z=1).
ce qui est juste^^.
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MessageSujet: Re: exercice   Aujourd'hui à 08:48

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