de retour avec un exercice simple pour le debut :)

on considere le polynome :
P(x)=(x^n-1).(x^(n+1)-1) tel que n £ IN*


1) montrez que P(-1)=0

2) montrez qu'il existe un polynome Q(x) tel que :

P(x)=(x-1)²(x+1)Q(x) et indiquer son degré !

bonne chance les amis

salu a tous !!
donc voila on suppose que n est paire :
donc 1^n=1
et 1^(n+1)=-1
on remplace et voila !!
P(-1)=0
et si n est impaire bah n+1 sera forcement paire !!
de toute façon l'une des deux sera forcement paire et l'autre impaire !!!

oui c'est sa mais c'est un peu mal dirigé ! et pour la deuxieme question ??


allez personne n'a trouvé ??

personne je postela soluce allez reveillez vous ..

Personne n'est arrivé aux polynômes de tout les TC

personne n'a posté une solution..j propose alors celle ci (sauf erreur)
tout Se base sur l'identité remarquable suivante:
xⁿ-1=(x-1)(x^n-1+x^n-2+....+x+1)
xⁿ⁺¹-1=(x-1)(xⁿ+x^n-1+....+x+1)
alors p(x)=(x-1)².(x^n-1+x^n-2+....+x+1).(xⁿ+x^n-1+....+x+1)
si n est pair :
(démontrons que -1 est une racine de h(x)=x^n-1+x^n-2+....+x+1(2k termes))
x^n-1=-1
x^n-2=1
.. ...
.. ....
x=-1
1=1
en sommant h(x)=0
alors si n est pair (x+1) divise h(x)----->prenons :h(x)=(x+1).m(x)
et on a : p(x)=(x-1)²(xⁿ+x^n-1+....+x+1).h(x)
alors :p(x)=(x-1)²(x+1)(xⁿ+x^n-1+....+x+1)m(x)
posons m(x)(xⁿ+x^n-1+....+x+1)=t(x)
p(x)=(x-1)²(x+1).t(x) (1)
-------------------------------------------------------------------------
si n est impair.....(demontrons que -1 est une racine du polynôme(x)=xⁿ+x^n-1+....+x+1(2k termes))
xⁿ=-1
x^n-1=1
... ....
x=-1
1=1
en sommant s(x)=0--->s(x)=(x+1)r(x)
et on a p(x)=(x-1)².h(x).r(x)
---> p(x)=(x-1)².(x+1).r(x).h(x)
posons :r(x).h(x)=g(x)
alors p(x)=(x-1)²(x+1).g(x) (2)
------------------------------------------------------------
de (1) et (2) on a:pour tout n de IN*
il existe un polynôme Q(x) tel que:
P(x)=(x-1)²(x+1)Q(x)

désolé majdouline mais je n'est pas très bien saisi comment tu y a procéder mais bon je poste ce que j'ai trouver :

on met :
P(x)=P°(x).P°°(x) °(indice)
tel que :
P°°(x)=x^(n+1)-1 p°(x)=x^n-1
on a:
P°°(1)=0 et P°(1)=0
alor (x-1) est un diviseur de P°°(x) et P°(x)
qui signifie:
P°(x)=(x-1).Q°(x) P°°(x)=(x-1).Q°°(x)
or :
P(x)=(x-1)².Q°(x).Q°°(x)
qui signifie:
(x-1)² est un diviseur de P(x)
on sait que :
P(-1)=0 qui signifie: (x+1) est aussi un diviseur de P(x)
d'ou il existe un polynome Q(x) tel que :
P(x)=(x-1)².(x+1).Q(x)



et pour le degré du polynome Q(x):
d°p=n+n+1 d°p=2n+1
et on a : le degré de (x-1)².(x+1) est 3
or : d°Q=2n-2

c'est la facon dont j'ai traité et que je trouve la plus simple

@+