besoin d'aide

soit f une fonction définie sur IR par
quelque soit (x;y) appartenant à IR*IR , f(x+y)=f(x)+f(y)
démontrez que si f est continue sur 0 , elle est continue sur IR

yassineno a écrit:

soit f une fonction définie sur IR par
quelque soit (x;y) appartenant à IR*IR , f(x+y)=f(x)+f(y)
démontrez que si f est continue sur 0 , elle est continue sur IR

Bonsoir Yassine !!

je vois que tu inssiste bcp sur cette equat° fonctionnelle !!

bon pour ton exo il suffit d'utiliser la définition de la continuité remarquant que: f(x-y) = f(x)-f(y)

si tu n'as pas arrivé a qlq chose je terminerai la reponse

et merci
__________________
LAHOUCINE

désolé ; j'ai besoin que tu me termine la réponse
merci infiniment pour tes efforts

bonsoir :

j ai reiré ma rep c etait pas à la question posée

yassineno a écrit:

désolé ; j'ai besoin que tu me termine la réponse
merci infiniment pour tes efforts

salut !!

c'est pas une effort Mr Yassine et je t'en prie !!!

alors f est continue en 0 donc

pr tt €>0 il existe un µ>0 tq |z|<µ ==> |f(z) - f(0)|< € ===> |f(z)| < € (*)

on remplaçe z par x-y on aura

(*)<--> pr tt €>0 il existe µ>0 tq |x-y|<µ ==> |f(x-y)|<€ ===> |f(x) - f(y)|<€ pr tt x;y£IR
d'où la cntinuité de f sur IR

.....
et merci
_____________________
LAHOUCINE

yassineno a écrit:

soit f une fonction définie sur IR par
quelque soit (x;y) appartenant à IR*IR , f(x+y)=f(x)+f(y)
démontrez que si f est continue sur 0 , elle est continue sur IR

f(0+0) = f(0) + f(0) ==> f(0) = 0 .
f(x-x) = f(x) + f(-x) ==> f(x) = -f(-x) .

donc f(x-y) = f(x) +f(-y) = f(x) - f(y).

bah, ma méthode ne compte pas sur la définition ...

lim(x->y) f(x-y) = f(0) = 0 ( car f est continue sur 0 ) .

on a : f(x-y) = f(x) - f(y)

donc lim(x->y) [ f(x) - f(y) ] = 0

donc quelque soit y de IR

lim (x->y) f(x) = f(y)

conclusion f est continue sur IR.

Remarquer que f(x0+x-x0)=f(x)

une autre méthode:
f(0)=0 et f est impaire et par continuité en 0 on deduit qu'elle est dérviable en 0. <==> lim(x->0)f(x)/x=L
remplacer y par -y on tire que lim(x->y)(f(x)-f(y)) / (x-y)=L donc f est dérviable en IR ==> continue.