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 Exo arithmétique difficile

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4 participants
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PyTH-Ali
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MessageSujet: Exo arithmétique difficile   Exo arithmétique difficile EmptyDim 27 Sep 2009, 03:05

Saluut je coince sur un exo d'arithmétique
1/Trouver (n²+n+1)^(n+1) pour n appartient à IN
2/Trouver (2puissance(n+1)-1) ^(2puissance(n)-1) pour n appartient ) IN*

^ veux dire pgcd et pas puissance
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majdouline
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MessageSujet: Re: Exo arithmétique difficile   Exo arithmétique difficile EmptyDim 27 Sep 2009, 10:06

bonjour....
la division euclidienne ou bien Bézout Wink...
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PyTH-Ali
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MessageSujet: Re: Exo arithmétique difficile   Exo arithmétique difficile EmptyDim 27 Sep 2009, 11:16

Bonjour ,
C'est la première leçon de T.C ... la division euclidienne c'est pour les polynômes (quatrième leçon) et le Théorème de Bézout , J'en sais rien .

Tu pourrais pas me dire comment on fait pour trouver le pgcd de deux inconnues ?

Merci
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Galois 94
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MessageSujet: Re: Exo arithmétique difficile   Exo arithmétique difficile EmptyDim 27 Sep 2009, 11:20

bonjour

remarque que : n^2+n+1 = n(n+1) +1

donc , PGDC(n^2+n+1,n+1) = 1

@ + Wink .
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majdouline
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MessageSujet: Re: Exo arithmétique difficile   Exo arithmétique difficile EmptyDim 27 Sep 2009, 11:23

PyTH-Ali a écrit:
Bonjour ,
C'est la première leçon de T.C ... la division euclidienne c'est pour les polynôme et le Théorème de Bézout , J'en sais rien .

Tu pourrais pas me dire comment on fait pour trouver le pgcd de deux inconnues ?

Merci
seulement pour les polynômes....et ici il ne s'agit pas de polynômes ?? Suspect Suspect


Dernière édition par majdouline le Dim 27 Sep 2009, 11:43, édité 1 fois
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Galois 94
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MessageSujet: Re: Exo arithmétique difficile   Exo arithmétique difficile EmptyDim 27 Sep 2009, 11:27

bonjour

je crois que PYTH-Ali est en TC , donc il n'a pas encore vu la division euclidienne Majdouline .

@ + Wink .
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PyTH-Ali
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MessageSujet: Re: Exo arithmétique difficile   Exo arithmétique difficile EmptyDim 27 Sep 2009, 11:31

j'avais remarqué que n²+n+1 = n(n+1) +1
mais comment tu fais pour en déduire la solution ?
par ce que là tu prouves que la division euclidienne de n²+n+1 par n+1 donne quotient n et reste 1 . cela prouve seulement que n²+n+1 n'est pas divisible par n+1 . mais ils ne sont pas forcément premiers entre eux . par exemple 42 n'est pas divisible par 30 mais 42^30 = 6.
Merci de m'expliquer doucement par ce que les pgcd c'est pas ma tasse de thé .

EDIT : j'ai parlé de quatrième leçon pas degré ... et oui je suis en TC
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Galois 94
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MessageSujet: Re: Exo arithmétique difficile   Exo arithmétique difficile EmptyDim 27 Sep 2009, 11:38

bonjour

ok PYTH-Ali ,

on a : n^2+n+1 = n(n+1) +1 .

et (n+1) = 1(n+1) + 0

or le PGDC de deux nombres est le dernier reste non nul dans les divisions successives .

d'où , PGDC(n^2+n+1,n+1) = 1 .

@ + Wink .
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majdouline
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majdouline


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MessageSujet: Re: Exo arithmétique difficile   Exo arithmétique difficile EmptyDim 27 Sep 2009, 11:48

PyTH-Ali a écrit:
j'avais remarqué que n²+n+1 = n(n+1) +1
mais comment tu fais pour en déduire la solution ?
par ce que là tu prouves que la division euclidienne de n²+n+1 par n+1 donne quotient n et reste 1 . cela prouve seulement que n²+n+1 n'est pas divisible par n+1 . mais ils ne sont pas forcément premiers entre eux . par exemple 42 n'est pas divisible par 30 mais 42^30 = 6.
Merci de m'expliquer doucement par ce que les pgcd c'est pas ma tasse de thé .

EDIT : j'ai parlé de quatrième leçon pas degré ... et oui je suis en TC
42/36=1+6 le reste c 6...alors pgcd(42;36)=6 Wink
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PyTH-Ali
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MessageSujet: Re: Exo arithmétique difficile   Exo arithmétique difficile EmptyDim 27 Sep 2009, 11:51

Désolé mais normalement on fait les divisions successives pour écrire un nombre sous forme d'un produit de nombres premiers.
et pas pour trouver le PGCD .
le PGCD c'est le produit des nombres premiers communs élevés à la plus petite puissance.
Tu pourrais m'expliquer encore + ?
désolé de te faire chier , mais je suis vraiment pas habitué aux notions de multiples et diviseurs
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majdouline
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MessageSujet: Re: Exo arithmétique difficile   Exo arithmétique difficile EmptyDim 27 Sep 2009, 11:56

ici pour déterminer le pgcd on prend le reste.....
sinon...
je te présente une autre méthode...espérons que ça soit au niveau T.C Wink
soit pgcd(n²+n+1,n+1)=d
n²+n+1=kd (k£IN)
n+1=k'd (k'£IN)
donc (n+1)²=dm (avec m=k'(n+1))
n²+2n+1=dm (1)
et on a :n²+n+1=kd (2)
(1)-(2)=n=d(m-k)=dh (avec h=m-k)
n=dh
n+1=k'd
alors ça devient: dh+1=k'd
1=d(h-k')
d divise 1...alors d=1...d'où pgcd(n²+n+1,n+1)=1
je te laisse de prouver la 2) en utilisant la même méthode Wink
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Galois 94
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MessageSujet: Re: Exo arithmétique difficile   Exo arithmétique difficile EmptyDim 27 Sep 2009, 12:01

bonjour

voilà une autre méthode .

on pose : PGDC( n^2+n+1;n+1) = d , où d app à IN .

donc on aura : d / n^2+n+1 et d / n+1 .

donc d / n(n+1) = n^2+n .

et comme , d / n^2+n+1 et d / n^2+n alors d / (n^2+n+1) - (n^2+n) = 1 .

ce qui prouve que : d = 1 cqfd .

@ + Wink .
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PyTH-Ali
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MessageSujet: Re: Exo arithmétique difficile   Exo arithmétique difficile EmptyDim 27 Sep 2009, 12:06

Je comprends mieux cette méthode ... merci
Mais je voudrais en savoir plus sur le fait que pgcd(a,b) est le dernier reste non nul de a et b . merci
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PyTH-Ali
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MessageSujet: Re: Exo arithmétique difficile   Exo arithmétique difficile EmptyDim 27 Sep 2009, 12:24

j'ai essayé de trouver le deuxieme .
on pose pgcd(....) = d
2^(n+1) - 1 = dk
2^(n) - 1 = dp

2^(n+1) - 2^(n) = d(k-p)
2^n = d(k-p)
2^(n) - 1 = dp
d(k-2p) = 1

d'ou d = 1

c'est juste ?

en passant vous avez pas d'autres exercices du genre ... j'en trouve pas dans mes livres , merci
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marichal
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MessageSujet: Re: Exo arithmétique difficile   Exo arithmétique difficile EmptyLun 05 Oct 2009, 22:17

2_n+1 - 1 = 4x2_n-1 -1
= 3x2_n-1 + (2_n-1 -1)
donc d= 2_n+1 - 1 ^ 2_n-1 -1 = 2_n-1 -1 ^ 3x2_n-1

vu que 2_n-1 -1 ^ 2_n-1 = 1

on a d= 2_n+1 - 1 ^ 2_n-1 -1 = 2_n-1 -1 ^ 3x2_n-1
= 2_n-1 -1 ^ 3


on a 3 un nombre premier donc d=1 ou d= 3

pour d= 3 , on 2_n-1 - 1 =3k
2_n-1=3k+1

je sais pas comment faire la suite sans utiliser l7issabyat
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