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 Problème d'octobre 2009

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2 participants
AuteurMessage
abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
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MessageSujet: Problème d'octobre 2009   Problème d'octobre 2009 EmptyJeu 01 Oct 2009, 09:28

Soit z un nombre complexe tel que Re(z)>0 et |z²-1/2|<1/2. Montrer que |z-1/3|<2/3.
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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui


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MessageSujet: Re: Problème d'octobre 2009   Problème d'octobre 2009 EmptyJeu 01 Oct 2009, 09:28

Salut,
Pour participer prière de :
1) Poster votre réponse par E-MAIL
abdelbaki.attioui@menara.ma


N'oublier pas de mettre, dans la solution, votre Nom utilisateur du Forum

2) Envoyer ici le message "Solution postée"
Merci
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houssa
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 1693
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MessageSujet: Re: Problème d'octobre 2009   Problème d'octobre 2009 EmptyJeu 22 Oct 2009, 05:44

Pb Oct 2009
Solution postée
Problème d'octobre 2009 Oct20010
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MessageSujet: Re: Problème d'octobre 2009   Problème d'octobre 2009 EmptyMar 03 Nov 2009, 18:25

Bonjour,

Il y a mieux et plus simple:
Montrer que Re(z)>0 et |z²-1/2|<1/2 entrainent que |z-1/2|<1/2.

La condition |z-1/2|<1/2 est équivalente à (x-1/2)²+y²<1/4 soit encore x²+y²<x soit encore r<cos(t) en passant en coordonnées polaires.
En l'écrivant pour z² on obtient r²<cos(2t)=cos(t)²-sin(t)² d'où r²<cos(t)² qui donne bien, puisque cos(t)>0 , r<cos(t) c'est-à-dire la conclusion.

Le disque de centre 1/2 et de rayon 1/2 est inclus dans le disque de centre 1/3 et de rayon 2/3.
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houssa
Expert sup



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Age : 68
Date d'inscription : 17/11/2008

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MessageSujet: Re: Problème d'octobre 2009   Problème d'octobre 2009 EmptyMar 03 Nov 2009, 20:50

salam mr Jandri

vous dites mieux et plus simple

pourquoi n'avez vous pas posté?

ma solution utilise l'outil le plus simple : le module

donc c'est la plus simple.

avec mes respects.
..
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Invité
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MessageSujet: Re: Problème d'octobre 2009   Problème d'octobre 2009 EmptyMer 04 Nov 2009, 08:39

Bonjour Houssa,

Je n'ai pas voulu dire que j'avais une solution plus simple du problème proposé mais je donne un résultat plus fort (car le disque de centre 1/2 et de rayon 1/2 est le plus petit disque contenant les z vérifiant les hypothèses); enfin ce résultat est très simple à justifier car si on connait l'équation polaire de ce disque (r<cos(t)) alors il suffit d'écrire r²<cos(2t)<(cos(t))² pour démontrer la conclusion.
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