Th de Cayley - Hammilton

ça c'est un exercice pour démontrer le théorème de Cayley - Hammilton




soient E un K-e.v de dim finie , u un endomorphisme de E et Xu le polynome caractéristique de u . fixons x£E avec x est différent de 0 et montrons que Xu(u)(x)=0

1 . Mq E! polynome unitaire et non constant de K[x] , noté Mx tel que :
i) Mx(u)(x) = 0
ii) si P est un autre polynome vérifiant P(u)(x) = 0 ; alors Mx divise P

2) . Supposons Mx = A0 + A1 + ....... + Ap-1 X^p-1 + Ap X^p et posons Fx = vect ({x,u(x),......,u^p-1(x)}) . Montrer que :

i) Dim(Fx) = p
ii)Fx est stable par u
iii) Si v est la restriction de u à Fx alors Xv = Mx

3 . Déduire de ce qui précède , que Xu(u) = 0[u]

c'est un devoir libre - est-ce qu'il y a qcq un qui peut m'aider? .

tu trouves dans ce documents peut être ce que tu cherches: http://mpsiddl.free.fr/pdf/fiches/cayley.pdf

oui merci pour la démonstration mais je ve des indictions pour chaque question s'il est possible

1-penser à l'injectivité entre K[x] et l(E)
2-l'ensemble d'un polynome annulateur est ideal du principale K[x]
3-evident
4-evident
5-polynome caractéristique est de degré=dimension

merci joystar1
mais j'ai pas bien compris

kes ta pas compris?

par exemple 1
comment j'applique l'injectivité

et merci pour tout

salut Youness

DSl j'ai été occupé toute la journée mais je vais traiter ce probleme bien sûr je donne que pour le premier question il suffit de supposer qu'il existe deux polynomes M_x et N_x qui verifies les hypothèse apres tu vas trover que M_x=N_x d'où l'unicité ....

pr la suite ça sera aprés que tu as réssis à resoudre celle là!

et merci
PS: je vais poster la reponse tt entier de cette question si tu n'as pas arrivé au resultat

PS: je vous invite à demontrer que Xu(u) est app. Lineaire !!!
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LAHOUCINE

ok merci Mathema , j'essaye de le résoudre
à la fin du jour je poste la réponse si j'arrive à le résoudre

a+

je sais pas si tu as vu le document que j'ai donné,tout est explicité,faut juste le lire pour répondre à toute les questions! d'ailleurs cette démonstration est vachement connu que tu vas en trouvé dans tt les bouquins d'algèbre!

salut younessboy
pour la question1 on a l'application lineaire qui à chaque polynome de k[x] associe l'endomorphisme P(u) ne peut etre injectif car L(E) est de dim finie et K[ x) non donc son ker nest pas reduit à zero dou l'existence d'un polnyome annulateur donc {deg(P)/ p annule u et p non null ] est une ârti de N non vide admet un plus petit element et on prend le polynome associe ,on divise par lecoef dominnt on et a Mx
il verifie la deuxiemen propireté par la divisien euclidienne et minimalité du deg de M
PS:excuser les erreurs de frappes ,j'étais pressé